Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

Различать индукцию B и напряжённость H. Применять закон полного тока в интегральной и дифференциальной форме. Ввести векторный потенциал и записать уравнение для него. Понимать роль калибровки

Предварительные понятия

Два вектора одного поля

Магнитное поле обнаруживает себя силой, действующей на движущиеся заряды и на проводники с током. Эту силовую характеристику — индукцию $\uB$ — можно измерить непосредственно. Но источником поля являются токи, и связь «ток → поле» удобнее записывать для другого вектора — напряжённости $\uH$ , которая в вакууме отличается от $\uB$ лишь постоянным множителем, а в веществе учитывает ещё и отклик среды. Магнитостатика изучает поля постоянных токов, когда ни токи, ни поля не зависят от времени; её уравнения — это уравнения Максвелла с отброшенными производными по времени.

В этом уроке мы введём оба вектора, запишем закон полного тока, выясним, почему линии $\uB$ не могут обрываться, и построим векторный потенциал — главный рабочий инструмент плоских магнитных задач.

Магнитная индукция

Вектор $\uB$ определяется силой, действующей на заряд $q$ , движущийся со скоростью $\vec v$ : $\vec F=q\,\vec v\times\uB .$ Единица — тесла: $1\ \text{Тл}=1\ \text{Н}/(\text{А}\cdot\text{м})=1\ \text{Вб}/\text{м}^2$ . Вместе с электрической силой это сила Лоренца $\vec F=q(\uE+\vec v\times\uB)$ .

Магнитная сила перпендикулярна скорости и потому не совершает работы над зарядом: она лишь искривляет траекторию. Для элемента проводника длиной $\dl$ (направленного по току) с током $I$ суммирование по носителям даёт закон Ампера для силы: $\dd\vec F=I\,\dl\times\uB ,$ а для всего контура $\vec F=I\oint\dl\times\uB$ . Прямой провод длиной $\ell$ в однородном поперечном поле испытывает силу $F=BI\ell$ . Эта формула — основа электрических машин и измерительных приборов, и к ней мы вернёмся в уроке о силах.

Напряжённость и закон полного тока

Напряжённость магнитного поля

Вектор $\uH$ (единица А/м), источником которого является плотность тока: $\nabla\times \uH=\uJ .$ Это уравнение Максвелла–Ампера без тока смещения — уравнение Максвелла для $\nabla\times \uH$ в магнитостатическом приближении.

Интегрируя по поверхности $S$ , натянутой на замкнутый контур $L$ , и применяя теорему Стокса, получаем интегральную форму.

Закон полного тока

$\oint_L\uH\cdot\dl=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS=I_{\text{охв}} .$ Циркуляция $\uH$ по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур. Знак тока определяется по правилу правого винта относительно направления обхода: ток, текущий в направлении нормали $\un$ , согласованной с обходом, считается положительным.

Закон полного тока — рабочий инструмент там, где симметрия позволяет угадать направление $\uH$ и подобрать контур, на котором $|\uH|$ постоянен. Три классические задачи разобраны ниже. Заметим, что $\uH$ определяется только токами, если геометрия обладает нужной симметрией, — свойства среды в закон полного тока не входят.

Соленоидальность индукции

Отсутствие магнитных зарядов

$\nabla\cdot \uB=0,\qquad \oint_S\uB\cdot\un\,\dS=0 .$ Поток индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Линии $\uB$ не имеют ни начала, ни конца: они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность. Это опытный факт — магнитные заряды не обнаружены.

Следствие — сохранение потока вдоль трубки индукции (трубки, боковая поверхность которой образована линиями $\uB$ ). Применим интегральную форму к участку трубки между двумя поперечными сечениями $S_1$ и $S_2$ : через боковую поверхность поток равен нулю ( $\uB\perp\un$ ), поэтому поток, входящий через $S_1$ , равен потоку, выходящему через $S_2$ . Трубка сужается там, где поле сильнее. Понятие трубки лежит в основе магнитных цепей: сердечник электромагнита — это трубка индукции, в которой поток постоянен вдоль пути, как ток в проводе.

Материальное уравнение

Магнитная проницаемость

Для изотропной среды $\uB=\mu\uH=\mu_0\mu_r\uH,\qquad \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \text{Гн/м},$ где $\mu_r$ — относительная проницаемость. Общая запись $\uB=\mu_0(\uH+\vec M)$ выделяет намагниченность $\vec M$ — магнитный момент единицы объёма; для линейной среды $\vec M=(\mu_r-1)\uH$ .

В вакууме, воздухе, меди, алюминии $\mu_r=1$ с точностью лучше $10^{-4}$ . У электротехнических сталей в ненасыщенном состоянии $\mu_r$ составляет тысячи, но зависит от $H$ и от предыстории — к нелинейности и гистерезису мы обратимся в уроке о магнитных цепях. Пока среда линейна и однородна, $\nabla\cdot \uH=0$ и $\nabla\times \uB=\mu\uJ$ , так что оба вектора взаимозаменяемы; различие проявляется на границах сред и в нелинейных материалах.

Векторный потенциал

В электростатике $\nabla\times \uE=0$ позволило ввести скалярный потенциал. В магнитостатике $\nabla\times \uH\ne0$ там, где есть ток, но зато $\nabla\cdot \uB=0$ всюду. Этому условию отвечает другой потенциал — векторный.

Существование векторного потенциала

Для любого векторного поля $\uA$ справедливо тождество $\nabla\cdot \nabla\times \uA\equiv0$ . Обратно: если $\nabla\cdot \uB=0$ в области (без «дыр» в смысле замкнутых поверхностей), то найдётся поле $\uA$ такое, что $\uB=\nabla\times \uA .$ Единица $\uA$ — Вб/м $=$ Тл·м. Потенциал определён неоднозначно: $\uA'=\uA+\nabla \chi$ с произвольной функцией $\chi$ даёт тот же $\uB$ , так как $\nabla\times \nabla \chi\equiv0$ .

Произвол в выборе $\chi$ называют калибровочным. Чтобы задача имела единственное решение, на $\uA$ накладывают дополнительное условие — калибровку. В магнитостатике стандартна калибровка Кулона $\nabla\cdot \uA=0$ : любое $\uA$ можно привести к ней, выбрав $\chi$ из уравнения $\Delta\chi=-\nabla\cdot \uA$ .

Уравнение для векторного потенциала

Подставим $\uH=\nu\uB=\nu\nabla\times \uA$ , где $\nu=1/\mu$ — величина, обратная проницаемости, в закон полного тока: $\nabla\times (\nu\nabla\times \uA)=\uJ .$ В однородной среде $\nu$ выносится, и по тождеству $\nabla\times \nabla\times \uA=\nabla \nabla\cdot \uA-\Delta\uA$ при калибровке Кулона $\Delta\uA=-\mu\uJ .$ Это три скалярных уравнения Пуассона — по одному на каждую декартову компоненту, — полностью аналогичных уравнению $\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon$ электростатики. Решение для ограниченного распределения токов в безграничной однородной среде $\uA(\ur)=\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{\uJ(\ur')}{|\ur-\ur'|}\,\dV'$ повторяет формулу для потенциала объёмного заряда.

Выгода векторного потенциала не в количестве уравнений, а в том, что условие $\nabla\cdot \uB=0$ выполняется автоматически: любое приближённое $\uA$ — например, кусочно-линейное на сетке — даёт в точности бездивергентное поле.

Плоские задачи

Пусть токи направлены вдоль оси $z$ и не зависят от $z$ : $\uJ=J_z(x,y)\vec e_z$ . Тогда и $\uA=A_z(x,y)\vec e_z$ , калибровка $\nabla\cdot \uA=\partial A_z/\partial z=0$ выполнена сама собой, а индукция лежит в плоскости $xy$ : $B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y},\qquad B_y=-\frac{\partial A_z}{\partial x},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\nu\frac{\partial A_z}{\partial x}\Bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\nu\frac{\partial A_z}{\partial y}\Bigr)=-J_z .$ Векторная задача свелась к одному скалярному уравнению $\nabla\cdot (\nu\nabla A_z)=-J_z$ , по форме совпадающему с уравнением для потенциала в неоднородной среде. Отсюда два полезных свойства.

Линии уровня $A_z$ — линии индукции

$\uB\cdot\nabla A_z=B_x\partial_xA_z+B_y\partial_yA_z=\partial_yA_z\,\partial_xA_z-\partial_xA_z\,\partial_yA_z=0$ . Вектор $\uB$ касается линий $A_z=\mathrm{const}$ : изолинии $A_z$ — это картина поля. Чем они гуще, тем сильнее поле, поскольку $|\uB|=|\nabla A_z|$ .

Поток на единицу длины — разность $A_z$

Возьмём в плоскости $xy$ произвольную кривую от точки $P_1$ до $P_2$ с единичным касательным вектором $\vec t$ и лежащей в плоскости нормалью $\un=\vec t\times\vec e_z=(t_y,\,-t_x,\,0)$ . Поток через полосу единичной высоты вдоль $z$ , опирающуюся на эту кривую, $\Phi'=\int_{P_1}^{P_2}\uB\cdot\un\,\dd l=\int(B_xt_y-B_yt_x)\,\dd l =\int\Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y}\dd y+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dd x\Bigr)=A_z(P_2)-A_z(P_1).$ Результат не зависит от формы кривой — как и должно быть при $\nabla\cdot \uB=0$ . Поток через прямоугольник глубиной $d$ равен $\Phi=d\,[A_z(P_2)-A_z(P_1)]$ . Знак определяется выбором направления обхода от $P_1$ к $P_2$ и соответствующей нормали $\un$ .

Именно это свойство делает $A_z$ удобнейшей величиной для вычисления потокосцеплений плоских обмоток — см. следующий урок.

Классические поля

Бесконечный прямой провод

Ток $I$ по оси $z$ . По симметрии $\uH=H(r)\vec e_\alpha$ ; закон полного тока для окружности радиуса $r$ даёт $2\pi rH=I$ : $H=\frac{I}{2\pi r},\qquad B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}.$ Векторный потенциал: в цилиндрических координатах для $\uA=A_z(r)\vec e_z$ имеем $\nabla\times \uA=-\dfrac{\dd A_z}{\dd r}\vec e_\alpha$ , поэтому $-\frac{\dd A_z}{\dd r}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\quad\Rightarrow\quad A_z=-\frac{\mu_0I}{2\pi}\ln r+\mathrm{const}.$ Постоянная — проявление калибровочного произвола; физический смысл имеют лишь разности. Поток на единицу длины между $r=a$ и $r=b$ : $A_z(a)-A_z(b)=\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\dfrac ba$ , что совпадает с прямым интегрированием $\int_a^bB\,\dd r$ . При $I=100$ А на расстоянии $r=5$ см: $H=100/(2\pi\cdot0{,}05)=318$ А/м, $B=4\pi\cdot10^{-7}\cdot318=4{,}0\cdot10^{-4}$ Тл $=0{,}4$ мТл.

Внутри провода с однородным током

Провод радиуса $a$ , плотность тока $J=I/(\pi a^2)$ однородна. Контур радиуса $r<a$ охватывает ток $J\pi r^2$ : $H=\frac{Jr}{2}=\frac{Ir}{2\pi a^2},\qquad A_z=-\frac{\mu_0Jr^2}{4}+\mathrm{const}.$ Поле растёт линейно от нуля на оси до $I/(2\pi a)$ на поверхности, затем убывает как $1/r$ . Проверка уравнения Пуассона: $\Delta A_z=\dfrac1r\dfrac{\dd}{\dd r}\Bigl(r\dfrac{\dd A_z}{\dd r}\Bigr)=\dfrac1r\dfrac{\dd}{\dd r}\Bigl(-\dfrac{\mu_0Jr^2}{2}\Bigr)=-\mu_0J$ . На поверхности провода радиуса $5$ мм при $I=100$ А: $H=100/(2\pi\cdot5\cdot10^{-3})=3{,}18$ кА/м, $J=1{,}27\cdot10^6$ А/м².

Длинный соленоид и тороид

Соленоид с $n=N/\ell$ витками на единицу длины. Внутри поле однородно и направлено вдоль оси, снаружи (для бесконечно длинного соленоида) равно нулю. Прямоугольный контур с одной стороной длиной $h$ внутри и другой снаружи охватывает ток $nhI$ : $Hh=nhI\quad\Rightarrow\quad H=nI,\qquad B=\mu_0nI .$ При $N=1000$ , $\ell=0{,}5$ м, $I=2$ А: $H=4000$ А/м, $B=4\pi\cdot10^{-7}\cdot4000=5{,}0$ мТл. Формальная подстановка стального сердечника с $\mu_r=1000$ дала бы $B=5$ Тл — результат физически невозможный: сталь насыщается при 1,5–2 Тл. Линейная модель здесь неприменима.

Тороид с $N$ витками: контур — окружность радиуса $r$ внутри обмотки, $2\pi rH=NI$ : $H=\frac{NI}{2\pi r}.$ Поле заключено внутри тороида, но неоднородно по сечению: у внутренней стенки оно больше, чем у внешней. Если толщина сечения мала по сравнению со средним радиусом $R$ , то $H\approx NI/(2\pi R)=NI/l_{\text{ср}}$ — это и есть исходная формула теории магнитных цепей. Подчеркнём: $H$ в тороиде не зависит от материала сердечника, тогда как $B=\mu H$ зависит.

Скалярный магнитный потенциал

В областях, где $\uJ=0$ , выполняется $\nabla\times \uH=0$ , и там можно ввести скалярный потенциал: $\uH=-\nabla \varphi_{\mathrm м}$ (единица — ампер). Из $\nabla\cdot \uB=0$ следует $\nabla\cdot (\mu\nabla \varphi_{\mathrm м})=0$ — то же уравнение, что и для электрического потенциала. Однако область «без токов» вокруг провода не односвязна: обходя провод по замкнутому пути, мы по закону полного тока набираем приращение $\varphi_{\mathrm м}$ , равное $-I$ . Потенциал оказывается многозначным, и его приходится определять на поверхности с разрезом. Поэтому скалярный потенциал удобен в задачах с постоянными магнитами и зазорами без обмоток, а при наличии токов предпочтителен векторный потенциал [Демирчян].

Граничные условия

На границе двух сред с проницаемостями $\mu_1$ , $\mu_2$ из $\nabla\cdot \uB=0$ и $\nabla\times \uH=\uJ$ следует (подробный вывод — в уроке о границах раздела): $B_{1n}=B_{2n},\qquad H_{1t}-H_{2t}=K ,$ где $K$ — поверхностная плотность тока на границе (А/м); при $K=0$ касательная составляющая $\uH$ непрерывна. Закон преломления линий индукции $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\mu_1/\mu_2$ : при выходе из стали ( $\mu_r\sim10^3$ ) в воздух линии $\uB$ становятся почти нормальными к поверхности. Векторный потенциал на границе непрерывен; в плоских задачах непрерывность $A_z$ обеспечивает непрерывность $B_n$ , а условие для $H_t$ принимает вид $\nu_1\partial A_z/\partial n=\nu_2\partial A_z/\partial n$ . На границе с идеальным магнитным проводником ( $\mu\to\infty$ ) $H_t=0$ ; линия симметрии, вдоль которой течёт поле, — это линия $A_z=\mathrm{const}$ .

Распространённые заблуждения

« $\uH$ — это $\uB$ в вакууме, делённое на $\mu_0$ , а в веществе они просто пропорциональны». В вакууме — да. В веществе $\uH$ и $\uB$ различаются принципиально: в тороиде $\uH$ задано током и не зависит от сердечника, а $\uB$ зависит; в постоянном магните $\uH$ и $\uB$ внутри направлены навстречу друг другу. На границе сред непрерывны разные компоненты: $B_n$ и $H_t$ .
«Силовые линии $\uB$ начинаются на северном полюсе и заканчиваются на южном». Линии $\uB$ замкнуты: снаружи магнита они идут от северного полюса к южному, а внутри — продолжаются от южного к северному. Начинаться и заканчиваться на полюсах могут только линии $\uH$ (на фиктивных «магнитных зарядах» $-\nabla\cdot \vec M$ ).
«Векторный потенциал нефизичен, поэтому его значения ничего не значат». Значение $A_z$ в точке действительно условно, но разность $A_z$ между двумя точками равна потоку на единицу длины — измеримой величине. Изолинии $A_z$ — реальная картина поля.
«Закон полного тока даёт поле любой системы токов». Он даёт интеграл по контуру, а не само поле. Извлечь $\uH$ из циркуляции удаётся лишь при симметрии, когда $|\uH|$ постоянен вдоль контура. Для витка конечного радиуса или короткой катушки закона полного тока недостаточно.
Знаки и ориентация. Направление $\uH$ вокруг тока, знак тока в законе полного тока и порядок точек в $\Phi'=A_z(P_2)-A_z(P_1)$ связаны правилом правого винта. Любая перепутанная ориентация меняет знак результата.

Вопросы и упражнения

Коаксиальный кабель: жила радиуса $a$ с током $I$ , обратный ток по тонкой оболочке радиуса $b$ . Найдите $H(r)$ во всех трёх областях и постройте график. Почему поле снаружи равно нулю?
Для поля прямого провода проверьте, что $A_z=-(\mu_0I/2\pi)\ln r$ удовлетворяет условию $\nabla\cdot \uA=0$ и уравнению Лапласа $\Delta A_z=0$ при $r>0$ .
Две параллельные шины с токами $+I$ и $-I$ на расстоянии $D$ . Запишите $A_z$ как сумму потенциалов двух проводов и покажите, что линии $A_z=\mathrm{const}$ — окружности (окружности Аполлония).
Тороидальный сердечник прямоугольного сечения с внутренним радиусом $r_1$ и внешним $r_2$ , высотой $h$ , обмотка $N=200$ витков, $I=1$ А, $\mu_r=500$ . Найдите полный поток $\Phi=\int B\,\dS$ через сечение и сравните с приближением $B(R)\,h(r_2-r_1)$ при $R=(r_1+r_2)/2$ для $r_1=4$ см, $r_2=6$ см, $h=2$ см.
Докажите, что в области без токов векторный потенциал плоской задачи $A_z$ и скалярный потенциал $\varphi_{\mathrm м}$ связаны так же, как сопряжённые гармонические функции: $\partial A_z/\partial x=\mu\,\partial\varphi_{\mathrm м}/\partial y$ , $\partial A_z/\partial y=-\mu\,\partial\varphi_{\mathrm м}/\partial x$ .
Какая калибровка «включена» автоматически в плоской задаче и почему в осесимметричной задаче с $\uA=A_\alpha\vec e_\alpha$ происходит то же самое?

Ответы к пунктам 1 и 4

1. $r<a$ : $H=Ir/(2\pi a^2)$ ; $a<r<b$ : $H=I/(2\pi r)$ ; $r>b$ : $H=0$ , так как контур охватывает суммарный ток $I-I=0$ . Поле заперто между проводниками — одно из главных достоинств коаксиальной конструкции.

4. $B=\mu_0\mu_rNI/(2\pi r)$ , $\Phi=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}B\,h\,\dd r=\frac{\mu_0\mu_rNIh}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot500\cdot200\cdot1\cdot0{,}02}{2\pi}\ln1{,}5=4\cdot10^{-4}\cdot0{,}405=1{,}62\cdot10^{-4}$ Вб. Приближение: $B(R)=\mu_0\mu_rNI/(2\pi\cdot0{,}05)=0{,}4$ Тл, $\Phi\approx0{,}4\cdot0{,}02\cdot0{,}02=1{,}60\cdot10^{-4}$ Вб — отличие около 1,4 %.

Итоги

Индукция $\uB$ — силовая характеристика ( $\vec F=q\vec v\times\uB$ , $\dd\vec F=I\,\dl\times\uB$ ); напряжённость $\uH$ связана с токами: $\nabla\times \uH=\uJ$ , $\oint\uH\cdot\dl=I_{\text{охв}}$ .
$\nabla\cdot \uB=0$ : линии индукции замкнуты, поток вдоль трубки индукции сохраняется; в среде $\uB=\mu\uH$ .
Соленоидальность гарантирует существование векторного потенциала $\uB=\nabla\times \uA$ ; калибровка Кулона $\nabla\cdot \uA=0$ устраняет произвол, и в однородной среде $\Delta\uA=-\mu\uJ$ .
В плоских задачах достаточно одной компоненты $A_z$ : изолинии $A_z$ — линии поля, разность $A_z$ двух точек — поток на единицу длины.
Классические решения: $H=I/(2\pi r)$ у провода, $H=Jr/2$ внутри него, $H=nI$ в соленоиде, $H=NI/(2\pi r)$ в тороиде — последнее ведёт к понятию магнитной цепи.

Далее — магнитный поток, потокосцепление и ЭДС индукции: как от поля перейти к напряжению на зажимах катушки.