Температурное поле и закон Фурье

Связать температуру, её градиент и плотность теплового потока. Вывести уравнение теплопроводности из баланса энергии. Решать одномерные стационарные задачи с источниками. Понимать анизотропную теплопроводность

Предварительные понятия

Температурное поле

Тепловые процессы в электротехнических устройствах — нагрев обмоток и магнитопроводов, отвод тепла через корпус, прогрев стенки — описываются на том же математическом языке, что и электромагнитное поле. Основная величина здесь скалярная: температура $T(\vec r,t)$ , К. Совокупность её значений во всех точках тела в данный момент времени называют температурным полем. Если поле не зависит от времени, $T=T(\vec r)$ , оно называется стационарным; в противном случае — нестационарным (ему посвящён урок о нестационарной теплопроводности).

Поверхности уровня температурного поля — изотермические поверхности (на плоских картинах — изотермы). Через одну точку проходит ровно одна изотерма: температура в точке единственна, поэтому изотермы разных уровней не пересекаются. По густоте изотерм, как и по густоте горизонталей на карте, видно, где температура меняется быстро. Вектор, который количественно выражает эту быстроту, — градиент температуры $\nabla T$ , К/м. Он направлен по нормали к изотерме в сторону роста температуры, а его модуль равен наибольшей скорости роста температуры на единицу длины.

Почти вся теория теплопроводности строится на двух утверждениях: закон Фурье связывает перенос тепла с градиентом температуры, а закон сохранения энергии связывает перенос тепла с изменением температуры во времени. Из них получается одно уравнение в частных производных — уравнение теплопроводности.

Плотность теплового потока и закон Фурье

Плотность теплового потока

Пусть через элемент поверхности площадью $\dS$ с единичной нормалью $\un$ за время $\dd t$ проходит количество теплоты $\dd Q$ . Вектор плотности теплового потока $\uq$ определяется так, что $\dd Q=\uq\cdot\un\,\dS\,\dd t ,$ то есть $\uq\cdot\un$ — мощность, переносимая через единицу площади. Единица: Вт/м². Направление $\uq$ — направление переноса энергии. Полный тепловой поток через поверхность $S$ — скаляр $P=\int_S\uq\cdot\un\,\dS ,\qquad [P]=\text{Вт}.$

Опыт показывает, что в неподвижной среде тепло переносится в сторону убывания температуры и тем интенсивнее, чем круче температура меняется. Это и есть закон Фурье.

Закон Фурье

$\uq=-\lambda\,\nabla T .$ Коэффициент пропорциональности $\lambda$ — коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К). Знак «минус» выражает второе начало термодинамики: градиент указывает в сторону роста $T$ , а тепло переносится в противоположную сторону — от горячего к холодному. В изотропной среде $\uq$ антипараллелен $\nabla T$ и, следовательно, перпендикулярен изотермам.

Коэффициент теплопроводности — свойство материала. Между металлами и теплоизоляторами его значения различаются на четыре десятичных порядка:

Материал	$\lambda$ , Вт/(м·К)
Медь	400
Алюминий	237
Сталь углеродистая	50
Бетон	1,5
Минеральная вата	0,04
Воздух (неподвижный)	0,026

Заметим, что воздух сам по себе — прекрасный теплоизолятор; минеральная вата, пенопласт и пористые материалы хороши именно потому, что удерживают воздух неподвижным и исключают его перемешивание. У металлов теплопроводность велика, поскольку тепло переносят те же свободные электроны, что и электрический заряд: хорошие проводники тока — хорошие проводники тепла.

Уравнение теплопроводности

Рассмотрим в теле произвольный неподвижный объём $V$ , ограниченный замкнутой поверхностью $S$ с внешней нормалью $\un$ . Пусть $\rho_m$ — плотность массы, кг/м³, $c$ — удельная теплоёмкость, Дж/(кг·К), $q_V$ — объёмная мощность внутренних источников тепла, Вт/м³ (например, джоулево тепловыделение). Деформациями и движением среды пренебрегаем.

Вывод уравнения теплопроводности из баланса энергии

Внутренняя энергия объёма изменяется за счёт двух причин: тепла, подводимого через границу, и тепла, выделяемого источниками внутри. Скорость роста внутренней энергии равна $\int_V\rho_m c\,\partial T/\partial t\,\dV$ . Через поверхность вытекает мощность $\oint_S\uq\cdot\un\,\dS$ (нормаль внешняя), значит, втекает $-\oint_S\uq\cdot\un\,\dS$ . Источники дают $\int_V q_V\,\dV$ . Баланс: $\int_V\rho_m c\frac{\partial T}{\partial t}\,\dV=-\oint_S\uq\cdot\un\,\dS+\int_V q_V\,\dV .$ По теореме Остроградского–Гаусса $\oint_S\uq\cdot\un\,\dS=\int_V\nabla\cdot \uq\,\dV$ , и все слагаемые собираются под один интеграл: $\int_V\left(\rho_m c\frac{\partial T}{\partial t}+\nabla\cdot \uq-q_V\right)\dV=0 .$ Объём $V$ произволен, поэтому подынтегральное выражение равно нулю в каждой точке. Подставляя закон Фурье $\uq=-\lambda\nabla T$ , получаем уравнение теплопроводности: $\rho_m c\,\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot (\lambda\,\nabla T)+q_V .$

Смысл уравнения прозрачен: температура в точке растёт, если тепла в неё втекает больше, чем вытекает ( $\nabla\cdot \uq<0$ ), и если в ней работают источники. Коэффициент $\rho_m c$ — объёмная теплоёмкость, Дж/(м³·К) — показывает, сколько энергии нужно, чтобы нагреть единицу объёма на один кельвин.

Стационарный случай и уравнение Пуассона

В стационарном поле $\partial T/\partial t=0$ , и уравнение сводится к балансу «что втекло — то вытекло или выделилось»: $\nabla\cdot (\lambda\,\nabla T)+q_V=0 .$ Если среда однородна ( $\lambda=\mathrm{const}$ ), то $\nabla\cdot (\lambda\nabla T)=\lambda\,\nabla\cdot \nabla T=\lambda\,\Delta T$ , и получается уравнение Пуассона $\Delta T=-\frac{q_V}{\lambda},$ а без источников — уравнение Лапласа $\Delta T=0$ . Это те же уравнения, что для электростатического потенциала ( $\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon$ ): все результаты о единственности решения, принципе максимума и методах расчёта переносятся на тепловые задачи дословно [Тихонов]. Отличия — лишь в граничных условиях, о которых пойдёт речь в следующем уроке.

Температура и превышение температуры

В инженерных расчётах чаще интересуются не самой температурой, а её превышением над температурой окружающей среды $T_0$ : $\vartheta=T-T_0 ,\qquad [\vartheta]=\text{К}.$ Так как $T_0$ — постоянная, $\nabla \vartheta=\nabla T$ и $\partial\vartheta/\partial t=\partial T/\partial t$ : уравнение теплопроводности для $\vartheta$ имеет тот же вид. Если $\lambda$ не зависит от температуры, уравнение линейно, и к превышению применим принцип суперпозиции: превышение от двух источников равно сумме превышений от каждого из них в отдельности. Для самой температуры $T$ суперпозиция в таком виде неверна — складывать абсолютные температуры бессмысленно.

Одномерные стационарные задачи

Одномерные решения — основа всех тепловых схем замещения и первое средство проверки численных расчётов. Рассмотрим четыре задачи.

Плоская стенка без источников

Стенка толщиной $d$ с температурами поверхностей $T_1$ при $x=0$ и $T_2$ при $x=d$ , $\lambda=\mathrm{const}$ , $q_V=0$ . Уравнение $\dd^2T/\dd x^2=0$ даёт линейный профиль $T(x)=T_1+(T_2-T_1)\frac{x}{d},\qquad q=-\lambda\frac{\dd T}{\dd x}=\frac{\lambda}{d}(T_1-T_2).$ Плотность потока постоянна по толщине (в стационарном режиме без источников втекает ровно столько, сколько вытекает), а тепловой поток через площадь $S$ равен $P=qS=\lambda S(T_1-T_2)/d$ .

Плоская стенка с равномерным тепловыделением

Пластина толщиной $2L$ , $-L\le x\le L$ , с источниками $q_V=\mathrm{const}$ ; обе поверхности имеют температуру $T_s$ . Уравнение $\lambda\,\dd^2T/\dd x^2=-q_V$ интегрируется дважды: $T(x)=-\frac{q_V}{2\lambda}x^2+C_1x+C_2 .$ Из симметрии задачи $\dd T/\dd x=0$ при $x=0$ , откуда $C_1=0$ ; из условия $T(L)=T_s$ находим $C_2=T_s+q_VL^2/(2\lambda)$ . Итого $T(x)=T_s+\frac{q_V}{2\lambda}\left(L^2-x^2\right),\qquad T_{\max}-T_s=\frac{q_VL^2}{2\lambda}.$ Профиль — парабола с вершиной в середине; плотность потока $q(x)=-\lambda\,\dd T/\dd x=q_Vx$ растёт линейно от нуля в центре до $q_VL$ на поверхности: всё тепло, выделенное в половине пластины, выходит через её поверхность.

Цилиндрическая стенка

Труба с внутренним радиусом $r_1$ , наружным $r_2$ и температурами поверхностей $T_1$ , $T_2$ . В осесимметричной задаче без источников $\Delta T=\frac1r\frac{\dd}{\dd r}\left(r\frac{\dd T}{\dd r}\right)=0$ , откуда $r\,\dd T/\dd r=C_1$ и $T=C_1\ln r+C_2$ . Подставляя граничные значения, $T(r)=T_1+(T_2-T_1)\frac{\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)},\qquad q(r)=-\lambda\frac{\dd T}{\dd r}=\frac{\lambda\,(T_1-T_2)}{r\,\ln(r_2/r_1)} .$ Плотность потока убывает как $1/r$ : одно и то же тепло проходит через всё большую площадь $2\pi r\ell$ . Тепловой поток на единицу длины трубы $P'=2\pi r\,q(r)=\frac{2\pi\lambda\,(T_1-T_2)}{\ln(r_2/r_1)},\qquad [P']=\text{Вт/м},$ от $r$ не зависит — это и есть проверка стационарности.

Провод с джоулевым тепловыделением

Цилиндрический провод радиуса $a$ с равномерным $q_V$ и температурой поверхности $T_s$ . Уравнение Пуассона в цилиндрических координатах: $\frac1r\frac{\dd}{\dd r}\left(r\frac{\dd T}{\dd r}\right)=-\frac{q_V}{\lambda} \;\Rightarrow\; r\frac{\dd T}{\dd r}=-\frac{q_Vr^2}{2\lambda}+C_1 .$ На оси температура конечна, значит, $\dd T/\dd r$ при $r\to0$ ограничена и $C_1=0$ . Второе интегрирование с условием $T(a)=T_s$ даёт $T(r)=T_s+\frac{q_V}{4\lambda}\left(a^2-r^2\right),\qquad T_{\text{ц}}-T_s=\frac{q_Va^2}{4\lambda}.$ Сравните с пластиной: в знаменателе $4\lambda$ вместо $2\lambda$ — цилиндр отводит тепло с поверхности, растущей пропорционально $r$ .

Перепад в стенке: бетон и утеплитель

Бетонная стена толщиной $d=0{,}2$ м при перепаде $T_1-T_2=20$ К: $q=1{,}5\cdot20/0{,}2=150$ Вт/м². Слой минеральной ваты толщиной $0{,}1$ м при том же перепаде: $q=0{,}04\cdot20/0{,}1=8$ Вт/м² — почти в 20 раз меньше при вдвое меньшей толщине. Через стену площадью $S=10$ м² в первом случае уходит $P=1{,}5$ кВт, во втором $80$ Вт.

Пластина с тепловыделением

Стальная пластина ( $\lambda=50$ Вт/(м·К)) толщиной $2L=40$ мм с объёмным тепловыделением $q_V=5\cdot10^6$ Вт/м³ при температуре поверхностей $T_s$ : $T_{\max}-T_s=\frac{5\cdot10^6\cdot(0{,}02)^2}{2\cdot50}=\frac{5\cdot10^6\cdot4\cdot10^{-4}}{100}=20\ \text{К}.$ Плотность потока на поверхности $q(L)=q_VL=5\cdot10^6\cdot0{,}02=10^5$ Вт/м². Если бы та же пластина была бетонной ( $\lambda=1{,}5$ ), перепад составил бы $667$ К — материал с низкой теплопроводностью не может быть массивным источником тепла.

Медный провод с током

Провод радиуса $a=1$ мм с током $I=30$ А; $\rho_{\mathrm э}=1{,}72\cdot10^{-8}$ Ом·м, $\lambda=400$ Вт/(м·К). Плотность тока $J=I/(\pi a^2)=30/(3{,}142\cdot10^{-6})=9{,}55\cdot10^6$ А/м²; тепловыделение $q_V=\rho_{\mathrm э}J^2=1{,}72\cdot10^{-8}\cdot9{,}12\cdot10^{13}=1{,}57\cdot10^6$ Вт/м³. Перепад между осью и поверхностью: $T_{\text{ц}}-T_s=\frac{1{,}57\cdot10^6\cdot10^{-6}}{4\cdot400}\approx1{,}0\cdot10^{-3}\ \text{К}.$ Поперечное сечение медного провода практически изотермично: нагрев провода определяется не теплопроводностью меди, а отводом тепла с его поверхности. Этот вывод — основа упрощённых моделей в связанных задачах.

Тепловые потери изолированной трубы

Слой минеральной ваты ( $\lambda=0{,}04$ ) от $r_1=55$ мм до $r_2=105$ мм при перепаде $T_1-T_2=100$ К: $P'=\frac{2\pi\cdot0{,}04\cdot100}{\ln(105/55)}=\frac{25{,}1}{0{,}647}\approx38{,}9\ \text{Вт/м}.$ На внутренней поверхности $q(r_1)=P'/(2\pi r_1)=38{,}9/0{,}3456=113$ Вт/м², на наружной — $59$ Вт/м²: плотность потока упала в $r_2/r_1=1{,}9$ раза.

Анизотропная теплопроводность

В слоистых и волокнистых материалах — шихтованных магнитопроводах, стеклотекстолите, намотанных обмотках, графите — теплопроводность зависит от направления. Закон Фурье обобщается: каждая компонента $\uq$ зависит от всех компонент градиента, $q_i=-\sum_j\lambda_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_j},\qquad \uq=-\boldsymbol\lambda\,\nabla T ,$ где $\boldsymbol\lambda$ — симметричный тензор теплопроводности. Для симметричного тензора существуют три взаимно перпендикулярных главных направления, в которых он диагонален: $\boldsymbol\lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ . В слоистой структуре главные оси — вдоль слоёв и поперёк них. Если слои толщиной $d_1$ , $d_2$ с теплопроводностями $\lambda_1$ , $\lambda_2$ чередуются, то вдоль слоёв они работают «параллельно», а поперёк — «последовательно»: $\lambda_\parallel=\frac{d_1\lambda_1+d_2\lambda_2}{d_1+d_2},\qquad \lambda_\perp=\frac{d_1+d_2}{d_1/\lambda_1+d_2/\lambda_2}.$ Так, в шихтованном сердечнике тонкие лаковые или оксидные прослойки почти не мешают теплу течь вдоль листов, но резко снижают $\lambda_\perp$ . У графита с упорядоченной структурой теплопроводность вдоль слоёв измеряется сотнями Вт/(м·К), а поперёк — единицами.

Главное следствие анизотропии: вектор $\uq$ уже не антипараллелен $\nabla T$ и не перпендикулярен изотермам. Пусть $\lambda_x=100$ , $\lambda_y=1$ Вт/(м·К), а градиент направлен под углом $45°$ к осям, $\nabla T=g(1,1)/\sqrt2$ . Тогда $\uq=-g(100,1)/\sqrt2$ — вектор, отклонённый от оси $x$ всего на $\arctan(1/100)\approx0{,}6°$ . Тепло «выбирает» направление лёгкого переноса почти независимо от направления градиента. В уравнении теплопроводности анизотропия учитывается автоматически: $\nabla\cdot (\boldsymbol\lambda\nabla T)$ в главных осях раскрывается как $\lambda_1\partial^2T/\partial x_1^2+\lambda_2\partial^2T/\partial x_2^2+\lambda_3\partial^2T/\partial x_3^2$ [Лыков].

Зависимость теплопроводности от температуры

У реальных материалов $\lambda=\lambda(T)$ : у чистых металлов теплопроводность с ростом температуры слегка падает, у сталей и изоляционных материалов — чаще растёт. Тогда стационарное уравнение $\nabla\cdot (\lambda(T)\nabla T)+q_V=0$ нелинейно. При умеренных перепадах пользуются средним значением $\lambda$ на интервале температур. Если же зависимость существенна, помогает преобразование Кирхгофа: вводят новую переменную $\Theta=\frac{1}{\lambda_0}\int_{T_0}^{T}\lambda(T')\,\dd T' ,\qquad \nabla \Theta=\frac{\lambda(T)}{\lambda_0}\nabla T ,$ и стационарное уравнение для $\Theta$ становится линейным уравнением Пуассона $\lambda_0\Delta\Theta=-q_V$ ; условия первого и второго рода сохраняют свой вид (условие третьего рода становится нелинейным). Решив его, возвращаются к $T$ обращением интеграла. В нестационарных задачах преобразование линейности не даёт: $\partial T/\partial t=(\lambda_0/\lambda(T))\,\partial\Theta/\partial t$ , и коэффициент при производной по времени остаётся зависящим от температуры; там остаётся численное решение [Лыков].

Сводка величин

Величина	Обозначение	Единица	Замечание
Температура	$T$	К	в разностях допустимы °C
Превышение температуры	$\vartheta=T-T_0$	К	линейное уравнение, суперпозиция
Градиент температуры	$\nabla T$	К/м	по нормали к изотерме, в сторону роста
Плотность теплового потока	$\uq$	Вт/м²	вектор
Тепловой поток	$P$	Вт	скаляр, интеграл $\uq\cdot\un$ по поверхности
Теплопроводность	$\lambda$ , $\boldsymbol\lambda$	Вт/(м·К)	скаляр или тензор
Объёмное тепловыделение	$q_V$	Вт/м³	$q_V=\uJ\cdot\uE$ для джоулева нагрева
Объёмная теплоёмкость	$\rho_mc$	Дж/(м³·К)	коэффициент при $\partial T/\partial t$

Распространённые заблуждения

«Тепло течёт от большего тела к меньшему» (или «от тела с большим запасом тепла»). Направление переноса определяется только знаком $\nabla T$ : тепло течёт от более горячей точки к более холодной, сколько бы энергии ни было запасено по обе стороны. Маленькая раскалённая деталь греет большой холодный корпус, а не наоборот.
Путаница $q$ и $P$ . Плотность потока $q$ измеряется в Вт/м² и может сильно меняться вдоль пути (в трубе — как $1/r$ ); тепловой поток $P$ — в Вт и в стационарном режиме без источников одинаков через любое сечение. Сравнивать «потоки» двух стенок разной площади по $q$ бессмысленно.
Градусы Цельсия в абсолютных формулах. В разностях температур ( $\nabla T$ , $T_1-T_2$ ) кельвины и градусы Цельсия взаимозаменяемы. Но всюду, где температура входит не разностью — прежде всего в закон излучения $T^4$ , — следует подставлять кельвины. В линейной зависимости $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_0[1+\alpha_\rho(T-T_0)]$ стоит разность $T-T_0$ , и там градусы Цельсия допустимы, если в них же задана $T_0$ .
«Большая $\lambda$ — значит, материал горячий». Теплопроводность — свойство материала, а не состояние. При одинаковом $q$ в меди перепад температур в $10^4$ раз меньше, чем в минеральной вате, — вот её смысл.
Вектор $\uq$ «вдоль изотермы». В изотропной среде $\uq$ перпендикулярен изотермам; вдоль изотермы перенос в первом порядке отсутствует. Исключение — анизотропные среды, где $\uq$ отклоняется в сторону главной оси с большей $\lambda$ .

Вопросы и упражнения

Стенка из алюминия толщиной $10$ мм и стенка из стали той же толщины находятся под одним перепадом $5$ К. Найдите $q$ в обеих и отношение потоков. Какой толщины должна быть стальная стенка, чтобы пропускать столько же, сколько алюминиевая?
Выведите профиль температуры в плоской стенке с тепловыделением $q_V$ , если одна поверхность ( $x=0$ ) теплоизолирована, а другая ( $x=d$ ) имеет температуру $T_s$ . Где максимум температуры и чему он равен? Сравните с симметричной пластиной толщиной $2L=2d$ .
Для медного провода $a=2$ мм при той же плотности тока $J=9{,}55\cdot10^6$ А/м², что в примере, найдите перепад $T_{\text{ц}}-T_s$ . Во сколько раз он изменился и почему?
Стальная труба $r_1=50$ мм, $r_2=55$ мм, перепад $10$ К. Найдите $P'$ точно по логарифмической формуле и приближённо как для плоской стенки толщиной $5$ мм и средней площадью $2\pi\cdot52{,}5$ мм на метр длины. Оцените относительную ошибку плоского приближения.
В шихтованном сердечнике листы стали ( $\lambda=50$ ) толщиной $0{,}5$ мм разделены прослойками лака ( $\lambda=0{,}2$ ) толщиной $5$ мкм. Найдите $\lambda_\parallel$ и $\lambda_\perp$ . Куда отклонится $\uq$ , если градиент направлен под $45°$ к плоскости листов?
Покажите, что для $\lambda=\lambda_0(1+\beta\vartheta)$ преобразование Кирхгофа даёт $\Theta=\vartheta+\beta\vartheta^2/2$ . Как по найденному $\Theta$ восстановить $\vartheta$ ?

Ответы к пунктам 1, 3 и 4

1. $q_{\mathrm{Al}}=237\cdot5/0{,}01=118{,}5$ кВт/м², $q_{\mathrm{ст}}=50\cdot5/0{,}01=25$ кВт/м²; отношение $4{,}74$ . Стальная стенка должна быть в $4{,}74$ раза тоньше: $2{,}1$ мм.

3. Перепад пропорционален $q_Va^2$ при $q_V=\rho_{\mathrm э}J^2=\mathrm{const}$ : вырос в $4$ раза, до $3{,}9\cdot10^{-3}$ К. Ток при этом вырос в $4$ раза (до $120$ А), а тепловыделение на единицу длины — в $4$ раза; отводится оно с поверхности, выросшей лишь вдвое.

4. Точно: $P'=2\pi\cdot50\cdot10/\ln(1{,}1)=3142/0{,}0953=32{,}96$ кВт/м. Плоское приближение: $P'=50\cdot10\cdot2\pi\cdot0{,}0525/0{,}005=32{,}99$ кВт/м. Ошибка около $0{,}1$ % — для тонкой стенки ( $r_2/r_1$ близко к 1) логарифм хорошо заменяется средней площадью.

Итоги

Температурное поле $T(\vec r,t)$ — скалярное; его изотермы не пересекаются, а $\nabla T$ направлен по нормали к ним в сторону роста температуры.
Закон Фурье $\uq=-\lambda\nabla T$ : тепло течёт против градиента, от горячего к холодному; $\uq$ — плотность потока в Вт/м², $P=\int_S\uq\cdot\un\,\dS$ — поток в Вт.
Баланс энергии контрольного объёма и теорема Остроградского–Гаусса дают уравнение $\rho_mc\,\partial T/\partial t=\nabla\cdot (\lambda\nabla T)+q_V$ ; в стационарном однородном случае — уравнение Пуассона $\Delta T=-q_V/\lambda$ .
Одномерные решения: линейный профиль в плоской стенке, парабола при тепловыделении ( $T_{\max}-T_s=q_VL^2/(2\lambda)$ для пластины, $q_Va^2/(4\lambda)$ для провода), логарифм в цилиндрической стенке с $P'=2\pi\lambda(T_1-T_2)/\ln(r_2/r_1)$ .
В анизотропной среде $\lambda$ — тензор, и $\uq$ не антипараллелен градиенту; зависимость $\lambda(T)$ делает задачу нелинейной, но в стационарном случае её линеаризует преобразование Кирхгофа.

Далее — граничные условия теплообмена и тепловые схемы: как задать на поверхности тела конвекцию и излучение и как свести многослойную стенку к цепи тепловых сопротивлений.

Температурное поле и закон Фурье