Энергия, коэнергия, сила и момент

Вычислять энергию и коэнергию для линейных и нелинейных систем. Применять метод виртуальной работы. Понимать тензор натяжений Максвелла на вводном уровне. Различать секущую и дифференциальную индуктивности

Воздушная катушка: N = 100 витков · I = 1 А; основные размеры, модуль магнитной индукции b; Ψ = 95,85 мкВб. — 1. Воздушная катушка1 — Обмотка · 2 — r₂ = 30 ммРасчётный образец. Осесимметричное сечение; показана одна сторона обмотки. Размер r₁ отсчитывается от оси до внутренней поверхности, r₂ — до наружной.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Нелинейный магнитопровод: N₁ = 100 · I₁ = 3 А · задана B(H); основные размеры, поле при токе 3 а; W′ = 64,09 мДж. — 2. Нелинейный магнитопровод1 — N₁ · 2 — N₂Расчётный образец. Табличная B(H) учебной стали; глубина 20 мм. Сравнивайте с линейным магнитопроводом при одинаковых условиях возбуждения.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Предварительные понятия

От энергии к силе

Электромагнит удерживает якорь, реле замыкает контакты, ротор двигателя вращается — во всех случаях поле совершает механическую работу. Вычислить силу «в лоб», суммируя силы Лоренца на токи и силы на элементарные магнитные моменты в стали, трудно и ненадёжно. Гораздо надёжнее энергетический путь: если известно, как запас энергии системы зависит от положения подвижной части, сила равна производной этой энергии по координате. Это метод виртуальной работы, и он работает одинаково для электромагнита, конденсатора с подвижной пластиной и электрической машины [Уайт–Вудсон].

Тонкость, которую нужно понять с первого раза: у магнитной системы есть две энергетические функции — энергия и коэнергия. Они совпадают в линейной системе и расходятся при насыщении, а сила выражается через каждую из них по-своему: через энергию — при постоянном потокосцеплении, через коэнергию — при постоянном токе. Перепутав, в нелинейной задаче получим неверный результат.

Энергия и коэнергия обмотки

Рассмотрим обмотку с потокосцеплением $\Psi$ и током $i$ ; геометрия пока неподвижна. Напряжение на обмотке без учёта сопротивления $u=\dd\Psi/\dd t$ , мощность от источника $ui=i\,\dd\Psi/\dd t$ , а работа источника за время $\dd t$ — $i\,\dd\Psi$ . Она целиком идёт в запас энергии поля.

Энергия и коэнергия

$W=\int_0^{\Psi}i(\Psi')\,\dd\Psi',\qquad W'=\int_0^{i}\Psi(i')\,\dd i',\qquad W+W'=\Psi i\ \ [\text{Дж}].$ Энергия $W$ — площадь между кривой намагничивания $\Psi(i)$ и осью $\Psi$ ; коэнергия $W'$ — площадь между той же кривой и осью $i$ . Вместе они заполняют прямоугольник $\Psi\times i$ , откуда и тождество $W+W'=\Psi i$ . Энергия — физически запасённая величина (работа источника); коэнергия — вспомогательная функция, не имеющая самостоятельного энергетического смысла, но чрезвычайно удобная.

В линейной системе $\Psi=Li$ , и обе площади — равные треугольники: $W=W'=\tfrac12Li^2=\tfrac12\Psi i=\Psi^2/(2L)$ . При насыщении кривая $\Psi(i)$ загибается к оси $i$ : энергия (площадь над кривой) растёт медленно, коэнергия (площадь под кривой) — быстро, и $W'>W$ .

Те же соотношения в полевых терминах: объёмная плотность энергии $w=\int_0^B\uH\cdot\dd\uB$ , коэнергии $w'=\int_0^H\uB\cdot\dd\uH$ , $w+w'=\uB\cdot\uH$ ; в линейной среде $w=w'=\tfrac12\uB\cdot\uH=B^2/(2\mu)$ . Интеграл $\int w\,\dV$ по всему пространству даёт $W$ .

Секущая и дифференциальная индуктивности

$L_{\mathrm{сек}}=\frac{\Psi}{i},\qquad L_{\mathrm{диф}}=\frac{\dd\Psi}{\dd i}.$ Секущая индуктивность определяет связь установившихся величин: поток при заданном токе, $\Psi=L_{\mathrm{сек}}i$ . Дифференциальная — реакцию на малые или быстрые изменения: $u=\dd\Psi/\dd t=L_{\mathrm{диф}}\,\dd i/\dd t$ при неподвижной геометрии, то есть именно $L_{\mathrm{диф}}$ входит в уравнения переходных процессов и определяет пульсации тока на переменной составляющей. В насыщенной системе $L_{\mathrm{диф}}<L_{\mathrm{сек}}$ и обе зависят от рабочей точки; в линейной — совпадают.

Метод виртуальной работы

Пусть теперь положение подвижной части задано координатой $x$ (зазор, смещение якоря). Система имеет две независимые переменные состояния; баланс энергии за малое время: $\underbrace{i\,\dd\Psi}_{\text{от источника}}=\underbrace{\dd W}_{\text{прирост запаса}}+\underbrace{F\,\dd x}_{\text{механическая работа}},$ где $F$ — сила, с которой поле действует на подвижную часть в направлении роста $x$ . Потери в меди в баланс не входят: они выделяются в сопротивлении обмотки, учитываются в уравнении цепи и с полем не связаны. Потери в стали (гистерезис, вихревые токи) мы считаем отсутствующими — система консервативна.

Сила через энергию и коэнергию

Из баланса $\dd W=i\,\dd\Psi-F\,\dd x$ следует, что $W$ — функция переменных $(\Psi,x)$ , причём $i=\left(\frac{\partial W}{\partial\Psi}\right)_x,\qquad F=-\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)_{\Psi}.$ Перейдём к коэнергии $W'=\Psi i-W$ : $\dd W'=\Psi\,\dd i+i\,\dd\Psi-\dd W=\Psi\,\dd i+F\,\dd x$ , то есть $W'$ — функция $(i,x)$ и $\Psi=\left(\frac{\partial W'}{\partial i}\right)_x,\qquad F=+\left(\frac{\partial W'}{\partial x}\right)_i .$ Оба выражения дают одну и ту же силу в данной точке $(\Psi,i,x)$ — различается лишь то, что фиксируется при дифференцировании. Для поворотного движения с углом $\theta$ вместо силы получается момент (здесь $T$ — момент, а не температура): $T=-(\partial W/\partial\theta)_\Psi=(\partial W'/\partial\theta)_i$ , единица — Н·м.

Почему знаки разные? При $\Psi=\mathrm{const}$ источник не работает ( $i\,\dd\Psi=0$ ), и механическая работа совершается за счёт убыли энергии: $F\,\dd x=-\dd W$ . При $i=\mathrm{const}$ источник подводит $i\,\dd\Psi$ , половина (в линейном случае) идёт в прирост энергии, половина — в работу, и выгоднее считать через $W'$ , чей прирост как раз равен работе. На практике обмотка чаще питается от источника напряжения или тока, а не потока, поэтому формула через коэнергию при $i=\mathrm{const}$ — основная.

В линейной системе $W'=\tfrac12L(x)i^2$ и $F=\tfrac12i^2\,\dd L/\dd x$ : сила направлена в сторону роста индуктивности, то есть уменьшения магнитного сопротивления. Это общее правило: магнитная система стремится увеличить своё потокосцепление при заданном токе. Через энергию: $W=\Psi^2/(2L(x))$ , $F=-\partial W/\partial x=\tfrac12\Psi^2L^{-2}\,\dd L/\dd x=\tfrac12i^2\,\dd L/\dd x$ — тот же результат, как и должно быть.

Пример: электромагнит с зазором

Сила притяжения С-образного электромагнита

Сердечник С-образной формы с обмоткой $N$ витков и током $i$ притягивает якорь через два одинаковых воздушных зазора длиной $g$ каждый (магнитный поток пересекает оба зазора последовательно). Площадь полюса $S$ , выпучиванием и рассеянием пренебрегаем, сталь считаем идеальной ( $\mu\to\infty$ ), так что вся МДС падает на зазорах: $Ni=H_g\cdot2g$ . Тогда $B=\mu_0H_g=\frac{\mu_0Ni}{2g},\qquad\Phi=BS,\qquad\Psi=N\Phi=\frac{\mu_0N^2S}{2g}\,i,\qquad L(g)=\frac{\mu_0N^2S}{2g}.$ Коэнергия линейной системы $W'=\tfrac12Li^2=\dfrac{\mu_0N^2Si^2}{4g}$ . Сила в направлении роста $g$ : $F_g=\left(\frac{\partial W'}{\partial g}\right)_i=-\frac{\mu_0N^2Si^2}{4g^2}.$ Знак отрицателен: сила направлена в сторону уменьшения зазора — якорь притягивается, как и подсказывает правило «в сторону роста $L$ ». Выразим модуль через индукцию, подставив $Ni=2gB/\mu_0$ : $|F_g|=\frac{\mu_0S}{4g^2}\cdot\frac{4g^2B^2}{\mu_0^2}=\frac{B^2S}{\mu_0}=2\cdot\frac{B^2S}{2\mu_0}.$ Полная сила — это сумма сил на двух полюсных поверхностях, по $B^2S/(2\mu_0)$ на каждой. Через энергию при $\Psi=\mathrm{const}$ : $W=\Psi^2/(2L)=\Psi^2g/(\mu_0N^2S)$ , $F_g=-\partial W/\partial g=-\Psi^2/(\mu_0N^2S)$ ; подставив $\Psi=Li$ , получаем прежнее $-\mu_0N^2Si^2/(4g^2)$ .

Числа. Пусть $S=4$ см² $=4\cdot10^{-4}$ м² и в зазоре $B=1$ Тл. На одну полюсную поверхность $\frac{B^2S}{2\mu_0}=\frac{1\cdot4\cdot10^{-4}}{2\cdot1{,}2566\cdot10^{-6}}=159\ \text{Н},$ на две — $318$ Н (вес около 32 кг). Какой ток для этого нужен: при $N=500$ , $g=1$ мм из $B=\mu_0Ni/(2g)$ получаем $i=2gB/(\mu_0N)=2\cdot10^{-3}/(1{,}2566\cdot10^{-6}\cdot500)=3{,}2$ А. Если же ток $i=2$ А, то $B=0{,}63$ Тл и $F=B^2S/\mu_0=0{,}395\cdot4\cdot10^{-4}/(1{,}2566\cdot10^{-6})=126$ Н — сила квадратична по току и по индукции.

Тензор натяжений Максвелла

Виртуальная работа даёт полную силу, но не говорит, где она приложена. Другой способ — представить силу как результат натяжений, передаваемых полем через поверхность. Максвелл показал, что для поля в вакууме (воздухе) силу на любое тело можно записать как поток некоторого тензора через замкнутую поверхность $S$ , охватывающую это тело [Тамм]: $\vec F=\oint_S\vec f\,\dS,\qquad \vec f=\frac1{\mu_0}\Bigl[(\uB\cdot\un)\uB-\tfrac12B^2\un\Bigr],$ где $\un$ — внешняя нормаль, а $\vec f$ — поверхностная плотность силы, Н/м². Два частных случая проясняют смысл: если $\uB\parallel\un$ , то $\vec f=\dfrac{B^2}{2\mu_0}\un$ — вдоль линий поля действует натяжение $B^2/(2\mu_0)$ ; если $\uB\perp\un$ , то $\vec f=-\dfrac{B^2}{2\mu_0}\un$ — поперёк линий действует такое же давление. Линии поля ведут себя как натянутые нити, стремящиеся сократиться и расталкивающие друг друга.

На границе стали с воздухом при поле, нормальном к поверхности, натяжение $B_n^2/(2\mu_0)$ со стороны воздуха тянет поверхность стали наружу — к зазору. Именно это даёт $B^2S/(2\mu_0)$ на каждую полюсную поверхность электромагнита, в полном согласии с методом виртуальной работы. Величина $B^2/(2\mu_0)$ при $B=1$ Тл равна $3{,}98\cdot10^5$ Па, около 4 атмосфер; при $1{,}5$ Тл — $9{,}0\cdot10^5$ Па. Для реальной стали с конечным $\mu$ и касательной составляющей поля выражение сложнее, но при $\mu_r\gg1$ и преимущественно нормальном поле формула $B_n^2/(2\mu_0)$ остаётся хорошим приближением.

Как выбирать поверхность интегрирования: она должна целиком лежать в воздухе (формула выведена для $\mu_0$ ), охватывать всё тело, на которое ищется сила, и не пересекать другие тела и токи. Теоретически результат от выбора не зависит; практически в численных моделях он чувствителен к точности поля на поверхности, поэтому её проводят посередине зазора, вдали от углов, где поле меняется резко. В лаборатории магнитной цепи сила по тензору Максвелла сравнивается с силой по формуле цепи $B_g^2S_g/\mu_0$ (две полюсные поверхности) — расхождение показывает роль рассеяния и выпучивания.

Электростатические аналоги

Все формулы переносятся на электростатику заменой $\Psi\to Q$ , $i\to U$ , $L\to1/C$ : энергия $W=\int_0^Q U\,\dd Q$ , коэнергия $W'=\int_0^U Q\,\dd U$ , в линейном случае $W=W'=\tfrac12CU^2=Q^2/(2C)$ , и $F=-\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)_Q=+\left(\frac{\partial W'}{\partial x}\right)_U=\tfrac12U^2\frac{\dd C}{\dd x}.$ Сила направлена в сторону роста ёмкости. Для плоского конденсатора $C=\varepsilon S/x$ , $F=-\varepsilon SU^2/(2x^2)=-\tfrac12\varepsilon E^2S$ : пластины притягиваются с давлением $\tfrac12\varepsilon E^2=\tfrac12DE$ — электростатический аналог $B^2/(2\mu_0)$ . Масштабы, однако, несопоставимы: при предельной для воздуха напряжённости $E=3$ МВ/м давление $\tfrac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot9\cdot10^{12}=40$ Па — в $10^4$ раз меньше, чем при $B=1$ Тл. Поэтому силовая электромеханика — магнитная.

Нелинейный случай: насыщение

При насыщении $\Psi(i,x)$ нелинейна, и путь через коэнергию при $i=\mathrm{const}$ становится единственным удобным: $W'(i,x)=\int_0^i\Psi(i',x)\,\dd i'$ вычисляется по семейству кривых намагничивания для разных зазоров, а сила — как разностная производная по $x$ . Качественно: пока сталь не насыщена, $B$ в зазоре растёт пропорционально току и $F\propto i^2$ . Когда индукция в стали приближается к $B_s$ (около $1{,}5$ – $2$ Тл), поток перестаёт расти, и сила выходит на предел $F_{\max}\approx B_s^2S/\mu_0$ (для двух зазоров), каким бы ни был ток. Увеличение тока сверх этого лишь греет обмотку. Поэтому сила тяги электромагнита ограничена площадью полюса, а не числом витков.

Использовать в нелинейном случае энергию $W$ вместо коэнергии, дифференцируя при $i=\mathrm{const}$ , нельзя: $-(\partial W/\partial x)_i$ не равно силе, а разница тем больше, чем сильнее насыщение (в линейном случае $W=W'$ , и ошибка маскируется).

Лаборатория

Открыть опыт: Энергия и коэнергия

Лаборатория строит кривую $\Psi(i)$ нелинейного электромагнита — той же модели сердечника с двумя зазорами и учётом выпучивания, что и в уроке о магнитных цепях. Площадь между кривой и осью $\Psi$ закрашена как энергия $W$ , между кривой и осью $i$ — как коэнергия $W'$ ; рабочая точка задаётся током $i$ , зазором $g$ и числом витков $N$ . На графике проведены секущая $L_{\mathrm{сек}}i$ и касательная с наклоном $L_{\mathrm{диф}}$ ; сила вычислена двумя способами: как $+\partial W'/\partial x$ при $i=\mathrm{const}$ и как $-\partial W/\partial x$ при $\Psi=\mathrm{const}$ , причём координата $x=-g$ отсчитывается в сторону уменьшения зазора, так что положительная сила притягивает якорь. Числа совпадают и сравниваются с оценкой по натяжениям $B_g^2S_g/\mu_0$ . Переключатель «нелинейная сталь / линейный материал» (с регулируемой $B_s$ ) показывает, как при насыщении расходятся $W$ и $W'$ , падает $L_{\mathrm{диф}}$ относительно $L_{\mathrm{сек}}$ и перестаёт расти сила.

Вопросы к лаборатории:

В линейном режиме увеличьте ток вдвое: во сколько раз выросли $W$ , $W'$ и сила? Повторите в нелинейном режиме при токе, выводящем сталь в насыщение.
Уменьшая зазор при постоянном токе, следите за $\Psi$ и $W'$ : почему коэнергия растёт и почему именно её рост означает силу в сторону уменьшения зазора?
Найдите точку, где $L_{\mathrm{диф}}$ вдвое меньше $L_{\mathrm{сек}}$ . Что это означает для амплитуды пульсаций тока при питании от сети?

Распространённые заблуждения

Энергия вместо коэнергии при постоянном токе. $F=-(\partial W/\partial x)_\Psi$ , но $F=+(\partial W'/\partial x)_i$ . Взяв $-\partial W/\partial x$ при $i=\mathrm{const}$ в насыщенной системе, получим неверную силу (в линейной системе ошибка не проявляется — отсюда её живучесть).
Знак силы. Отрицательная $\partial W'/\partial g$ означает силу в сторону уменьшения $g$ , то есть притяжение. Сила всегда направлена в сторону роста индуктивности (ёмкости) при постоянном токе (напряжении).
«Сила всегда равна $B^2S/(2\mu_0)$ ». Это сила на одну полюсную поверхность при нормальном поле, бесконечно проницаемой стали и однородном $B$ по площади. При двух зазорах удваивается, при выпучивании $B$ в зазоре меньше расчётного и зависит от координаты, при насыщении $B$ ограничено.
Коэнергия — «тоже энергия». Нет: это математическая функция; физически запасена $W$ . Утверждение «система запасла $W'$ джоулей» при насыщении неверно.
Одна индуктивность на все случаи. Для установившегося потока — $L_{\mathrm{сек}}$ , для переходных процессов и пульсаций — $L_{\mathrm{диф}}$ ; подстановка $L_{\mathrm{сек}}$ в $u=L\,\dd i/\dd t$ в насыщенной системе занижает скорость нарастания тока.

Вопросы и упражнения

Электромагнит: $N=1000$ , $S=2$ см², два зазора по $g=0{,}5$ мм, $i=1$ А, сталь идеальная. Найдите $B$ в зазоре и полную силу. Почему к результату следует отнестись с осторожностью?
Для идеализированной кривой $\Psi=k\sqrt i$ ( $k$ — постоянная) найдите $W$ , $W'$ , $L_{\mathrm{сек}}$ и $L_{\mathrm{диф}}$ как функции $i$ . Проверьте $W+W'=\Psi i$ и найдите отношения $W'/W$ и $L_{\mathrm{диф}}/L_{\mathrm{сек}}$ .
Выразите давление $B^2/(2\mu_0)$ при $B=1{,}5$ Тл в атмосферах ( $1$ атм $=1{,}013\cdot10^5$ Па). Какая масса якоря удерживается при площади полюсов $2\times10$ см²?
Пластины плоского конденсатора площадью $100$ см² находятся в воздухе при $E=3$ МВ/м. Найдите силу притяжения. Какая индукция $B$ дала бы ту же силу на той же площади?
Покажите, что для линейной поворотной системы с $L(\theta)=L_0+L_2\cos2\theta$ момент $T=-L_2i^2\sin2\theta$ . В каких положениях он равен нулю, какие из них устойчивы?
Электромагнит с якорем питается от источника постоянного напряжения. При срабатывании зазор уменьшается. Опишите качественно, что происходит с $\Psi$ , $i$ , $W$ и $W'$ в процессе движения, и почему мгновенная сила не равна статической при том же токе.

Ответы к пунктам 1, 2 и 3

1. $B=\mu_0Ni/(2g)=1{,}2566\cdot10^{-6}\cdot1000\cdot1/10^{-3}=1{,}26$ Тл; $F=B^2S/\mu_0=1{,}579\cdot2\cdot10^{-4}/(1{,}2566\cdot10^{-6})=251$ Н. При $1{,}26$ Тл обычная сталь близка к насыщению, и падение МДС в сердечнике уже не пренебрежимо; реальная индукция и сила меньше — оценка является верхней границей.

2. $W'=\int_0^ik\sqrt{i'}\,\dd i'=\tfrac23ki^{3/2}$ ; $W=\Psi i-W'=ki^{3/2}-\tfrac23ki^{3/2}=\tfrac13ki^{3/2}$ ; $W'/W=2$ . $L_{\mathrm{сек}}=k/\sqrt i$ , $L_{\mathrm{диф}}=k/(2\sqrt i)$ , отношение $\tfrac12$ .

3. $1{,}5^2/(2\cdot1{,}2566\cdot10^{-6})=8{,}95\cdot10^5$ Па $=8{,}8$ атм. Сила $8{,}95\cdot10^5\cdot20\cdot10^{-4}=1790$ Н, масса $1790/9{,}81=183$ кг.

Итоги

Энергия $W=\int i\,\dd\Psi$ и коэнергия $W'=\int\Psi\,\dd i$ — две площади на плоскости $\Psi$ – $i$ , $W+W'=\Psi i$ ; равны лишь в линейной системе ( $\tfrac12Li^2$ ).
$L_{\mathrm{сек}}=\Psi/i$ описывает установившийся режим, $L_{\mathrm{диф}}=\dd\Psi/\dd i$ — переходные процессы и малые колебания.
Сила по методу виртуальной работы: $F=-(\partial W/\partial x)_\Psi=+(\partial W'/\partial x)_i$ ; момент — те же производные по углу. Сила направлена в сторону роста индуктивности при постоянном токе.
Для электромагнита с двумя зазорами $F=B^2S/\mu_0$ — по $B^2S/(2\mu_0)$ на каждую полюсную поверхность; это натяжение тензора Максвелла $B_n^2/(2\mu_0)$ на границе сталь–воздух. При насыщении сила ограничена $B_s^2S/\mu_0$ .
Электростатические аналоги: $F=-(\partial W/\partial x)_Q=(\partial W'/\partial x)_U$ , давление $\tfrac12\varepsilon E^2$ — на четыре порядка меньше магнитного при технических полях.

Далее — температурное поле и закон Фурье: потери, вычисленные в этом модуле, становятся источниками тепла.