Поле стационарного электрического тока

Записать закон Ома в локальной форме и уравнение непрерывности. Решать задачу о распределении потенциала в проводнике. Вычислять сопротивление, проводимость и мощность потерь Джоуля

Распределение тока в проводнике переменного сечения. Сохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — Распределение тока в проводнике переменного сечения1 — Проводник переменного сеченияСохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Предварительные понятия

Электростатическое поле

От электростатики к току

В электростатике проводник был областью, где поле отсутствует: заряды, однажды перераспределившись, останавливаются, и напряжённость внутри обращается в нуль. Стоит, однако, подключить к проводнику источник, поддерживающий разность потенциалов, — и картина меняется. Заряды движутся непрерывно, внутри проводника существует электрическое поле, а само движение зарядов сопровождается выделением тепла. Поле, при котором распределение токов и зарядов не меняется во времени, называют стационарным полем электрического тока. Оно описывается тем же потенциалом $\varphi$ , что и электростатическое, но подчиняется другому материальному уравнению и другим граничным условиям.

Задачи этого раздела встречаются в инженерной практике повсюду: расчёт сопротивления шины сложной формы, растекание тока в земле от заземлителя, распределение тока в контактных соединениях, потери в токоведущих частях. Все они сводятся к одному вопросу: как распределяется ток по объёму проводника, если известны потенциалы электродов.

Плотность тока и сила тока

Плотность электрического тока

Вектор $\uJ$ , направленный вдоль движения положительных зарядов и численно равный заряду, проходящему в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной направлению движения. Единица: А/м². Если носители с объёмной плотностью заряда $\rho$ движутся со средней скоростью $\vec v$ , то $\uJ=\rho\vec v$ .

Сила тока $I$ через ориентированную поверхность $S$ с единичной нормалью $\un$ — это поток вектора $\uJ$ : $I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS .$ Единица — ампер. Ток — скалярная величина, знак которой определяется выбором нормали: ток «в направлении $\un$ » положителен. Для провода с равномерным распределением тока по сечению $A$ формула вырождается в $I=JA$ , но в общем случае $\uJ$ меняется по сечению, и делить ток на площадь нельзя — именно это и демонстрирует лаборатория ниже.

Локальный закон Ома

В большинстве проводников при умеренных полях плотность тока пропорциональна напряжённости.

Локальный (дифференциальный) закон Ома

$\uJ=\sigma\uE,\qquad \uE=\rho_{\mathrm э}\uJ,\qquad \rho_{\mathrm э}=\frac1\sigma .$ Здесь $\sigma$ — удельная электрическая проводимость (См/м), $\rho_{\mathrm э}$ — удельное сопротивление (Ом·м). Для изотропной среды $\sigma$ — скаляр, и $\uJ\parallel\uE$ ; в анизотропной среде $\sigma$ — тензор.

Проводимость металлов огромна по сравнению с проводимостью электролитов и грунтов: медь $\sigma=5{,}8\cdot10^7$ См/м ( $\rho_{\mathrm э}=1{,}72\cdot10^{-8}$ Ом·м), алюминий $3{,}5\cdot10^7$ См/м ( $2{,}86\cdot10^{-8}$ Ом·м), влажный грунт — порядка $10^{-2}$ См/м, сухой — $10^{-3}$ См/м и менее. Диапазон охватывает десять порядков, поэтому в задачах с несколькими средами ток практически целиком идёт по металлу, а металлические электроды в слабопроводящей среде можно считать эквипотенциальными.

Удельное сопротивление металлов растёт с температурой: $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm{э}0}[1+\alpha_\rho(T-T_0)]$ , для меди и алюминия $\alpha_\rho\approx 4\cdot10^{-3}$ К⁻¹. Эта зависимость делает задачу о токе и задачу о нагреве связанными — к ней мы вернёмся в связанных задачах.

Уравнение непрерывности

Заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности $S$ вытекает ток $\oint_S\uJ\cdot\un\,\dS$ , то заряд $Q$ внутри убывает с той же скоростью: $\oint_S\uJ\cdot\un\,\dS=-\dd Q/\dd t$ . Применяя теорему Остроградского–Гаусса и стягивая объём к точке, получаем локальную форму.

Уравнение непрерывности

$\nabla\cdot \uJ=-\frac{\partial\rho}{\partial t}.$ В стационарном режиме распределение заряда не меняется, $\partial\rho/\partial t=0$ , и $\nabla\cdot \uJ=0,\qquad \oint_S\uJ\cdot\un\,\dS=0 .$ Линии тока не имеют ни начала, ни конца: они замыкаются через источник. Интегральная форма — первый закон Кирхгофа: сумма токов, втекающих в любой объём (узел), равна нулю.

Из $\nabla\cdot \uJ=0$ следует простое и важное правило: вдоль трубки тока — трубки, боковая поверхность которой образована линиями тока, — ток через любое поперечное сечение одинаков. Там, где трубка сужается, плотность тока возрастает.

Потенциал и его уравнение

В стационарном режиме $\partial\uB/\partial t=0$ , поэтому $\nabla\times \uE=0$ и, как в электростатике, $\uE=-\nabla \varphi$ . Подставляя в уравнение непрерывности закон Ома, получаем уравнение для потенциала.

Уравнение стационарного поля тока

$\nabla\cdot (\sigma\,\nabla \varphi)=0 .$ В однородной среде ( $\sigma=\mathrm{const}$ ) оно переходит в уравнение Лапласа $\Delta\varphi=0$ . Проводимость в однородной области выпадает из уравнения: распределение потенциала определяется только геометрией и граничными условиями, а $\sigma$ лишь масштабирует ток.

Граничные условия имеют ясный физический смысл.

Электроды. Проводимость электрода (металл) на много порядков выше проводимости среды, поэтому электрод эквипотенциален: $\varphi=\varphi_k=\mathrm{const}$ на его поверхности (условие Дирихле). Напряжение между электродами $U=\varphi_1-\varphi_2$ .
Изолированная поверхность. Ток не может выйти в непроводящую среду: $J_n=0$ , то есть $\partial\varphi/\partial n=0$ (условие Неймана). Линии тока касаются такой границы, эквипотенциали подходят к ней под прямым углом.
Граница двух проводящих сред. Из $\nabla\cdot \uJ=0$ следует непрерывность нормальной составляющей $J_{1n}=J_{2n}$ , из $\nabla\times \uE=0$ — непрерывность касательной $E_{1t}=E_{2t}$ . Отсюда $\sigma_1E_{1n}=\sigma_2E_{2n}$ : нормальная составляющая $\uE$ терпит скачок, на границе существует поверхностный заряд. Закон преломления линий тока — $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\sigma_1/\sigma_2$ [Бессонов].

Решив краевую задачу, находим $\uE=-\nabla \varphi$ , $\uJ=\sigma\uE$ , затем ток любого электрода интегрированием $\uJ\cdot\un$ по его поверхности.

Сопротивление и проводимость

Сопротивление и проводимость двухэлектродной системы

$R=\frac UI,\qquad G=\frac1R=\frac IU .$ Здесь $U$ — напряжение между электродами, $I$ — полный ток, стекающий с одного электрода на другой. Единицы: Ом и сименс (См). В линейной среде $R$ не зависит от $U$ — это свойство системы (материал и геометрия), а не материала.

Из поля сопротивление извлекают несколькими равноправными способами:

через ток: $I=\int_{S_1}\sigma\uE\cdot\un\,\dS$ по поверхности электрода, $R=U/I$ ;
через мощность (см. ниже): $R=P/I^2=U^2/P$ ;
в одномерном приближении — суммированием сопротивлений тонких слоёв.

Одномерное приближение для проводника переменного сечения

Пусть ток течёт вдоль оси $x$ стержня, сечение которого $A(x)$ меняется медленно. Тогда плотность тока почти однородна по сечению, $J(x)=I/A(x)$ , $E(x)=I/(\sigma A)$ , и $U=\int_0^\ell E\,\dd x=I\int_0^\ell\frac{\dd x}{\sigma(x)A(x)},\qquad R=\int_0^\ell\frac{\dd x}{\sigma(x)A(x)} .$ Это сумма сопротивлений элементарных слоёв $\dd R=\dd x/(\sigma A)$ , соединённых последовательно. Для постоянного сечения $R=\ell/(\sigma A)$ .

Граница применимости. Формула справедлива лишь при малом наклоне образующей ( $|\dd A/\dd x|\ll\sqrt{A}$ , то есть при плавном сужении). При резком изменении сечения, ступеньке или изгибе плотность тока перераспределяется по сечению, линии тока искривляются, и реальное сопротивление больше одномерной оценки: ток не успевает «заполнить» широкую часть и обтекает углы.

Потери Джоуля

Работа поля над зарядами в единице объёма за единицу времени равна $\uJ\cdot\uE$ . Эта мощность переходит в тепло.

Объёмная плотность потерь Джоуля

$p_{\mathrm{Дж}}=\uJ\cdot\uE=\sigma E^2=\frac{J^2}{\sigma},\qquad P=\int_V p_{\mathrm{Дж}}\,\dV .$ Единицы: Вт/м³ и Вт. В тепловой задаче $p_{\mathrm{Дж}}$ играет роль объёмного источника $q_V$ .

Полная мощность равна $UI$

Подставим $\uE=-\nabla \varphi$ и воспользуемся тождеством $\nabla\cdot (\varphi\uJ)=\varphi\,\nabla\cdot \uJ+\uJ\cdot\nabla \varphi$ , в котором $\nabla\cdot \uJ=0$ : $P=-\int_V\uJ\cdot\nabla \varphi\,\dV=-\int_V\nabla\cdot (\varphi\uJ)\,\dV=-\oint_S\varphi\,\uJ\cdot\un\,\dS .$ На изолированных поверхностях $J_n=0$ ; остаются электроды с постоянными потенциалами $\varphi_1$ , $\varphi_2$ . Ток, выходящий из объёма через электрод 1 (внешняя нормаль), равен $-I$ , через электрод 2 — $+I$ . Поэтому $P=\varphi_1I-\varphi_2I=UI=I^2R=U^2/R$ . Мощность, распределённая по объёму, в сумме совпадает с мощностью, которую «видит» источник.

Аналогия с электростатикой

Уравнения стационарного поля тока и электростатики в области без свободных зарядов совпадают с точностью до обозначений.

Электростатика	Поле тока
$\uE=-\nabla \varphi$	$\uE=-\nabla \varphi$
$\uD=\varepsilon\uE$	$\uJ=\sigma\uE$
$\nabla\cdot \uD=0$	$\nabla\cdot \uJ=0$
$Q=\oint\uD\cdot\un\,\dS$	$I=\oint\uJ\cdot\un\,\dS$
$C=Q/U$	$G=I/U$

Соотношение $RC=\varepsilon/\sigma$

Пусть одна и та же система электродов помещена сначала в однородный диэлектрик $\varepsilon$ , затем в однородную проводящую среду $\sigma$ . Потенциал $\varphi$ в обоих случаях удовлетворяет уравнению Лапласа с одинаковыми граничными условиями, а по теореме единственности — совпадает. Тогда $C=\frac{\oint\varepsilon\uE\cdot\un\,\dS}{U},\qquad G=\frac{\oint\sigma\uE\cdot\un\,\dS}{U} \quad\Rightarrow\quad \frac GC=\frac\sigma\varepsilon,\qquad RC=\frac\varepsilon\sigma .$ Зная ёмкость системы, сразу получаем её сопротивление, и наоборот. Величина $\varepsilon/\sigma$ имеет размерность времени — это время релаксации заряда, важное для гармонических процессов. Для меди $\varepsilon_0/\sigma=8{,}854\cdot10^{-12}/5{,}8\cdot10^{7}\approx1{,}5\cdot10^{-19}$ с.

Аналогия работает и в обратную сторону: ёмкость сложной системы электродов можно измерить, погрузив её модель в электролит и измерив сопротивление, — так поступали до появления численных методов.

Лаборатория

Лаборатория содержит два режима. В первом — стержень из двух последовательно соединённых материалов $\sigma_1$ , $\sigma_2$ с линейно изменяющимся сечением; расчёт ведётся в одномерном приближении $J=I/A(x)$ , а в показаниях выводится полуугол конусности — мера применимости этого приближения. Во втором — радиальный ток в цилиндрическом слое, для которого показано точное решение. Задаются ток $I$ , размеры и проводимости (кнопка «Медь → алюминий» задаёт $\sigma_1=58$ , $\sigma_2=35$ МСм/м); выводятся $R$ , $G$ , $U$ , $P_{\mathrm{Дж}}$ , максимумы $J$ и $p$ , продольное сечение, окрашенное по потенциалу, с линиями тока и графики $J(x)$ , $E(x)$ , $\varphi(x)$ , $p(x)$ .

Открыть опыт: Проводник переменного сечения

На что обратить внимание:

В сужении плотность тока и напряжённость растут, а плотность потерь — как $J^2$ : тонкие участки греются непропорционально сильно.
На границе материалов $J$ непрерывна, а $E$ скачком меняется в $\sigma_1/\sigma_2$ раз; график $\varphi(x)$ имеет излом.
Чем круче конусность стержня, тем дальше от истины одномерная оценка — следите за выводимым полууглом конусности: при углах в десятки градусов приближение ненадёжно.
В цилиндрическом слое $J\propto1/r$ , и большая часть падения напряжения приходится на область вблизи внутреннего электрода.

Разобранные примеры

Медный провод

Провод сечением $A=2{,}5$ мм² $=2{,}5\cdot10^{-6}$ м², длиной $\ell=100$ м, $\sigma=5{,}8\cdot10^7$ См/м, ток $I=16$ А. $R=\frac{\ell}{\sigma A}=\frac{100}{5{,}8\cdot10^7\cdot2{,}5\cdot10^{-6}}=0{,}690\ \text{Ом},\qquad J=\frac IA=6{,}4\cdot10^6\ \text{А/м}^2=6{,}4\ \text{А/мм}^2,$ $E=\frac J\sigma=0{,}110\ \text{В/м},\qquad p_{\mathrm{Дж}}=JE=7{,}06\cdot10^5\ \text{Вт/м}^3,\qquad P=I^2R=177\ \text{Вт}.$ Проверка: объём провода $V=A\ell=2{,}5\cdot10^{-4}$ м³, $p_{\mathrm{Дж}}V=7{,}06\cdot10^5\cdot2{,}5\cdot10^{-4}=177$ Вт. Напряжённость внутри медного провода — всего десятые доли вольта на метр, но она отлична от нуля.

Радиальный ток в цилиндрическом слое (точное решение)

Проводящий слой между коаксиальными электродами радиусов $a<b$ и длины $\ell$ (краевые эффекты у торцов не учитываем). По симметрии $\uJ=J(r)\vec e_r$ , и из постоянства тока через любую цилиндрическую поверхность $J(r)=\frac{I}{2\pi r\ell},\qquad E(r)=\frac{I}{2\pi\sigma r\ell},\qquad U=\int_a^bE\,\dd r=\frac{I}{2\pi\sigma\ell}\ln\frac ba,\qquad R=\frac{\ln(b/a)}{2\pi\sigma\ell}.$ Тот же результат даёт $RC=\varepsilon/\sigma$ с ёмкостью коаксиального конденсатора $C=2\pi\varepsilon\ell/\ln(b/a)$ . При $a=1$ см, $b=5$ см, $\ell=0{,}2$ м, $\sigma=1$ См/м (электролит): $R=\ln5/(2\pi\cdot1\cdot0{,}2)=1{,}609/1{,}257=1{,}28$ Ом. Потенциал $\varphi(r)=\varphi_a-\dfrac{I}{2\pi\sigma\ell}\ln\dfrac ra$ меняется по логарифму — именно его показывает второй режим лаборатории.

Полусферический заземлитель и шаговое напряжение

Электрод в виде полусферы радиуса $a$ заглублён в однородный грунт $\sigma$ так, что его плоская грань лежит на поверхности земли. Ток $I$ растекается радиально в нижнее полупространство: $J=I/(2\pi r^2)$ , $E=I/(2\pi\sigma r^2)$ . Потенциал относительно бесконечно удалённой точки $\varphi(r)=\int_r^\infty E\,\dd r=\frac{I}{2\pi\sigma r},\qquad R=\frac{\varphi(a)}I=\frac1{2\pi\sigma a}.$ При $\sigma=0{,}01$ См/м, $a=0{,}5$ м: $R=1/(2\pi\cdot0{,}01\cdot0{,}5)=31{,}8$ Ом. Заметим, что сопротивление определяется в основном грунтом вблизи электрода: половина всего падения потенциала приходится на слой $a<r<2a$ .

Шаговое напряжение. При токе замыкания $I=100$ А потенциал поверхности земли $\varphi(r)=100/(2\pi\cdot0{,}01\,r)=1592/r$ В. Человек с длиной шага $0{,}8$ м, стоящий на расстоянии 1 м от центра электрода, оказывается между точками с потенциалами $1592$ В и $1592/1{,}8=884$ В: шаговое напряжение $\approx708$ В. Отсюда требования к выравниванию потенциалов на подстанциях.

Усечённый конус в одномерном приближении

Алюминиевый стержень ( $\sigma=3{,}5\cdot10^7$ См/м) длиной $\ell=0{,}2$ м, радиус линейно растёт от $r_1=5$ мм до $r_2=10$ мм. С $r(x)=r_1+(r_2-r_1)x/\ell$ $R=\int_0^\ell\frac{\dd x}{\sigma\pi r^2(x)}=\frac{\ell}{\sigma\pi(r_2-r_1)}\Bigl(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\Bigr)=\frac{\ell}{\sigma\pi r_1r_2} =\frac{0{,}2}{3{,}5\cdot10^7\cdot\pi\cdot5\cdot10^{-3}\cdot10^{-2}}=3{,}64\cdot10^{-5}\ \text{Ом}.$ Среднее геометрическое радиусов, а не среднее арифметическое. Наклон образующей $(r_2-r_1)/\ell=0{,}025$ мал, одномерное приближение оправдано.

Распространённые заблуждения

«Ток течёт по пути наименьшего сопротивления». Ток течёт по всем путям одновременно и делится между ними пропорционально проводимостям: по пути с проводимостью в десять раз меньшей идёт в десять раз меньший, но не нулевой ток. Именно поэтому ток заземлителя растекается по всему полупространству, а не по одной «лучшей» линии.
«Внутри проводника с током $\uE=0$ ». Это верно только для проводника в электростатическом равновесии. При протекании тока $\uE=\uJ/\sigma\ne0$ ; в меди при 6,4 А/мм² напряжённость равна 0,11 В/м — малая, но именно она гонит ток.
« $J=I/A$ в любом сечении». Деление тока на площадь законно только при однородном распределении. У изгибов, ступенек, отверстий и вблизи малых электродов плотность тока сильно неоднородна, а сопротивление выше одномерной оценки.
Путаница между $\rho_{\mathrm э}$ и $R$ . Удельное сопротивление — свойство материала (Ом·м), сопротивление — свойство тела (Ом). «Сопротивление меди» — бессмысленное выражение без указания размеров.
«Потенциал электрода неоднороден вдоль него». Падение потенциала вдоль металлического электрода в слабопроводящей среде пренебрежимо мало; электрод — эквипотенциаль. Исключение — длинные тонкие электроды, когда сопротивление самого металла сравнимо с сопротивлением среды.

Вопросы и упражнения

Сферический электрод радиуса $a$ полностью погружён в безграничную среду $\sigma$ . Найдите сопротивление «относительно бесконечности» и сравните с полусферическим заземлителем. Почему результаты отличаются ровно вдвое?
Два коаксиальных слоя: $\sigma_1$ при $a<r<c$ , $\sigma_2$ при $c<r<b$ . Запишите $R$ и укажите, в каком слое выделяется большая доля мощности при $\sigma_1\gg\sigma_2$ .
По плоской пластине толщиной $h$ ток течёт между двумя противоположными кромками. Покажите, что для квадратной пластины $R=1/(\sigma h)$ не зависит от размера стороны. Как изменится результат для прямоугольника со сторонами $\ell$ (вдоль тока) и $w$ ?
В лаборатории задайте одинаковые материалы и резко различные сечения на концах стержня. Как ведёт себя $p(x)$ ? Оцените, во сколько раз плотность потерь на узком конце превышает плотность на широком при отношении радиусов 1:3.
Используя $RC=\varepsilon/\sigma$ и ёмкость плоского конденсатора, найдите сопротивление утечки изоляционного слоя толщиной 2 мм площадью 0,5 м² при $\sigma=10^{-12}$ См/м.
Докажите, что в однородном проводнике со стационарным током объёмный заряд равен нулю, а заряды могут располагаться только на поверхностях и границах сред.

Ответы к пунктам 1, 4 и 5

1. Для сферы $J=I/(4\pi r^2)$ , $\varphi(a)=I/(4\pi\sigma a)$ , $R=1/(4\pi\sigma a)$ — вдвое меньше, чем у полусферы, потому что ток растекается в два полупространства: это две одинаковые проводимости, соединённые параллельно.

4. $p=J^2/\sigma$ , а $J\propto1/r^2$ , поэтому отношение плотностей потерь равно $(r_2/r_1)^4=81$ .

5. $C=\varepsilon_0S/d$ (при $\varepsilon_r=1$ ) и $R=\varepsilon_0/(\sigma C)=d/(\sigma S)=2\cdot10^{-3}/(10^{-12}\cdot0{,}5)=4\cdot10^9$ Ом $=4$ ГОм. Для диэлектрика с $\varepsilon_r>1$ результат тот же — $\varepsilon$ сокращается.

Итоги

Стационарное поле тока описывается потенциалом: $\uE=-\nabla \varphi$ , $\uJ=\sigma\uE$ , $\nabla\cdot \uJ=0$ , откуда $\nabla\cdot (\sigma\nabla \varphi)=0$ ; в однородной среде — уравнение Лапласа.
Граничные условия: электроды эквипотенциальны ( $\varphi=\mathrm{const}$ ), изолированные поверхности непроницаемы для тока ( $J_n=0$ ); на границе сред непрерывны $J_n$ и $E_t$ .
Сопротивление $R=U/I$ — характеристика системы; из поля его находят через ток, через мощность $P=\int\uJ\cdot\uE\,\dV=I^2R$ или в одномерном приближении $R=\int\dd l/(\sigma A)$ при плавном изменении сечения.
Формальная аналогия $\uJ\leftrightarrow\uD$ , $\sigma\leftrightarrow\varepsilon$ даёт $RC=\varepsilon/\sigma$ для любой геометрии электродов в однородной среде.
Точные решения — цилиндрический слой $R=\ln(b/a)/(2\pi\sigma\ell)$ и полусферический заземлитель $R=1/(2\pi\sigma a)$ — показывают, что сопротивление сосредоточено там, где плотность тока велика.

Далее — гармонические токи: что происходит, когда к току проводимости добавляется ток смещения, и почему проводник и диэлектрик — вопрос частоты.

Поле стационарного электрического тока

От электростатики к току

Плотность тока и сила тока

Локальный закон Ома

Уравнение непрерывности

Потенциал и его уравнение

Сопротивление и проводимость

Потери Джоуля

Аналогия с электростатикой

Лаборатория

Разобранные примеры

Итоги

Применение в FEMM 5