Занятие 8.2

Интегральные магнитные величины: ток, МДС, поток и потокосцепление

Цель и задачи

Цель. Согласовать магнитные величины, измеренные разными интегралами.

Задачи

Согласовать магнитные величины, измеренные разными интегралами.
Сведите токовые, контурные и объёмные результаты с направлением и геометрическим множителем.

Что нужно вспомнить перед началом

Перед началом: 8.1 · Полная система Максвелла и материальные уравнения

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Выбор наблюдаемых величин и проверка интегрального закона

Инженерный вопрос. Какие ток, МДС, поток и потокосцепление описывают один режим?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Лабораторная работа:

Асинхронный двигатель от поля в зазоре до параметров и механической характеристики — Потокосцепление и индуктивность

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Определите ориентацию контура или поверхности, охватываемые источники и геометрический множитель. Закон связывает измеряемую величину с независимым источником.
Поток, магнитное напряжение и энергия однородного поля. Проверьте знаки и единицы интегрального закона на разобранной геометрии.
Сравните полевой, контурный и объёмный расчёты. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите токовые, контурные и объёмные результаты с направлением и геометрическим множителем.
Ответить на вопрос по своим результатам. Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Таблица независимых измерений с единицами и объяснением различия потока и потокосцепления.

Данные именно этого опыта. Сведите токовые, контурные и объёмные результаты с направлением и геометрическим множителем.

Оформление наблюдений. Контур или область интегрирования, ориентация, точечные и интегральные величины раздельно, источник и невязка закона.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Сохраните модель, решение, контуры и таблицу удвоенной глубины. Цель ошибки ненулевых интегралов \le 1\% после уточнения сетки; невязку нулевой циркуляции нормируйте на 7,95775 А.

Независимый контроль. Сопоставьте интеграл с источником или суммой потоков, а не с повторным чтением того же интеграла другим именем.

Критерий выполнения. Различайте I, МДС, \Phi и \Psi по определению, области и единице; выводите NI и N\Phi только после перечисления условий. Проверяйте поток, H\cdot dl и энергию независимыми способами; объясняйте смену знака при обращении обхода. Учитывайте глубину и осесимметрию в соответствующих мерах интегрирования, не домножайте готовые результаты FEMM. Представьте исходную модель, решение и таблицу проверки; аналитический ответ не подтверждает выполнение FEMM.

Точность и расхождения. Нормируйте невязку на физический масштаб источника или потока, объявленный до сравнения. Для баланса около нуля приводите также абсолютную невязку в единицах закона.

Основание сравнения. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Вывод для устройства

Объясните, даёт ли выбранный интеграл полный параметр устройства или только локальную характеристику его сечения.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Дополнительный расчётный метод

Потокосцепление и ЭДС обмотки: сравнение независимых способов

Сравнение независимых способов потокосцепления позволяет проверить фазную ЭДС и количественно оценить вклад высших гармоник.

Лабораторные работы по методу: Зубцовые контуры: проводимости, коронки и взаимная связь при смещении; Измерительная рамка: от поля провода к ЭДС

Получаемые величины. Ψф и E ф, rms; вклад гармоник в \Psi и ЭДС; расхождение способов интегрирования; влияние насыщения и положения ротора

Проверяем витки, ветви, полюса, длину и ось фазы.
Сопоставляем сумму зубцовых потоков, усреднение A по сторонам и circuit flux linkage.
Проверяем спектральный способ по B_{\delta} и обмоточной функции.
Получаем \Psi (\theta ) и E=-\omega d\Psi /d\theta; повторяем с нелинейной сталью.

\frac{\widehat\Psi_\nu}{\widehat\Psi_1}=\frac{\widehat B_\nu}{\widehat B_1}\frac{k_{w\nu}}{k_{w1}}\frac{1}{\nu}

Отношение записано для согласованных пространственных гармоник и одной обмотки; при комплексном представлении сохраняются их фазовые углы.

\frac{E_{\nu,\mathrm{rms}}}{E_{1,\mathrm{rms}}}=\nu\frac{\widehat\Psi_\nu}{\widehat\Psi_1}

При постоянной скорости \nu-я пространственная гармоника потокосцепления изменяется вνраз быстрее основной; дифференцирование убирает множитель 1/\nu.

Численный пример применения метода

Заданы B_{1}=0{,}90 Тл, B_{5}=0{,}12 Тл и коэффициенты обмотки из примера q=3, \varepsilon =20^\circ:kw1=0,9452,kw5=0,1398. Оцениваем модули вкладов при постоянной скорости.

Отношение амплитуд поля B_{5}/B_{1}=0.133333.
С учётом обмотки и порядка гармоники получаем \Psi 5/\Psi 1=0.00394549.
После дифференцирования E_{5}/E_{1}=5\Psi 5/\Psi 1=0.01972745.

Ответ. Пятая гармоника даёт 0.3945%основного потокосцепления, но 1.9727%основной ЭДС. Поэтому небольшое искажениеΨне обязательно означает столь же малое искажение напряжения.

Страницы источника. PDF 1–6: геометрия и прямые методы; 7–12: спектр; 12–13: вращающийся вектор; 14–16: программа и варианты

Литература по методу

Теория и вывод формул

Интегральные законы связывают распределение магнитного поля с параметрами обмотки. Рассматриваются условия применения выражений NI и N\Phi, выбор контура и учёт геометрических особенностей постановки FEMM.

Соглашения об обозначениях и единицах

\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(8.9) · Ток и магнитодвижущая сила
(8.10) · Ток и магнитодвижущая сила
(8.11) · Ток и магнитодвижущая сила
(8.12) · Магнитный поток и векторный потенциал
(8.13) · Магнитный поток и векторный потенциал
(8.14) · Потокосцепление всей обмотки
(8.15) · Потокосцепление всей обмотки
(8.16) · Энергия и коэнергия
(8.17) · Энергия и коэнергия
(8.18) · Какие меры интегрирования скрыты за \(2D\)
(8.19) · Какие меры интегрирования скрыты за \(2D\)
(8.20) · Аналитическая сила и три интеграла
(8.21) · Аналитическая сила и три интеграла
(8.22) · Почему методы сходятся с разной скоростью

Определение, закон и частная формула

Интегральная величина относится к выбранной линии, поверхности, объёму или обмотке. Значение поля в одной точке ещё не определяет ток, магнитный поток или энергию. Перед вычислением укажите объект интегрирования, положительное направление и единицу.

Определение тока через поверхность и определение потока действуют при неоднородном поле. Закон Ампера связывает циркуляцию H с источниками. Произведения JS, BS и NI появляются после дополнительных предположений. Сопротивление, ёмкость и индуктивность — параметры связи интегральных величин; неверно утверждать, что абсолютно любая физическая величина сама определяется пространственным интегралом.

Здесь S — поверхность, C — ориентированная линия, \Omega — объём, n — единичная нормаль. Для замкнутого C и натянутой на него S направления согласуются правилом правого винта. Изменение ориентации меняет знак интеграла, но не скалярной энергии.

Ток и магнитодвижущая сила

Ток проводимости через S определяется интегралом нормальной компоненты плотности свободного тока J. Единицы: J — А/м², I — А. Формула I=JS допустима лишь при однородном J, направленном по нормали; в общем случае нужна средняя нормальная компонента, а не максимум на карте.

Магнитодвижущая сила вдоль пути — интеграл H\cdot dl; для открытого пути также употребляют термин магнитное напряжение. Для замкнутого контура это циркуляция H. Единица — ампер; «ампер-виток» поясняет происхождение, но число витков безразмерно.

Полный закон Ампера — Максвелла включает ток смещения. В магнитостатической и магнитоквазистатической моделях FEMM им пренебрегают. Тогда циркуляция H равна алгебраической сумме свободных токов, пронизывающих поверхность. NI получается для N согласных витков одного тока I, сцепленных с контуром. Открытый участок сердечника обычно не охватывает весь такой контур.

Сумма H_k\ell_k — кусочная аппроксимация интеграла при почти постоянном касательном H на каждом участке. Постоянный магнит не добавляет автоматически NI в закон для H: его намагниченность входит в материальную связь B и H.

I_S=\int_S\mathbf J\cdot\mathbf n\,dS,\qquad \mathcal F_{ab}=\int_a^b\mathbf H\cdot d\mathbf l

(8.9)

Ток — поверхностный интеграл; магнитное напряжение — линейный.

\mathcal F_C=\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l=\int_S\left(\mathbf J_{\mathrm{free}}+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}\right)\cdot\mathbf n\,dS

(8.10)

Закон Ампера — Максвелла для поверхности S с границей C.

\mathcal F_C\simeq\sum_k s_kN_ki_k,\quad s_k\in\{-1,+1\};\qquad \mathcal F_{ab}\simeq\sum_m H_{t,m}\ell_m

(8.11)

Первое упрощение предполагает магнитоквазистатику и заданную топологию обмоток; второе — почти постоянное H по участкам.

Магнитный поток и векторный потенциал

Поток \Phi_S — интеграл B\cdot n по конкретной поверхности, единица — вебер. Нельзя умножить B в характерной точке на произвольную площадь. Для плоской поверхности и постоянного поля \Phi =BS \cos \alpha, где \alpha — угол между B и нормалью.

При B=\operatorname{rot} A теорема Стокса выражает поток интегралом A\cdot dl по замкнутой границе поверхности. A имеет единицу Вб/м. Открытый интеграл A вдоль произвольного отрезка не определяет поток: он зависит от калибровки и замыкающего пути.

Поток B через замкнутую поверхность равен нулю: входящий и выходящий потоки компенсируются. Это не означает нулевой поток в отдельном сечении сердечника.

\Phi_S=\int_S\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf A\cdot d\mathbf l,\qquad \oint_{\partial\Omega}\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS=0

(8.12)

Первый интеграл — по поверхности с границей; последний — по замкнутой поверхности.

\mathbf A\mapsto\mathbf A+\nabla\chi,\qquad\oint_C\nabla\chi\cdot d\mathbf l=0

(8.13)

Для однозначной гладкой \chi замкнутый интеграл калибровочно инвариантен.

Потокосцепление всей обмотки

Для N последовательно соединённых тонких витков потокосцепление \Psi — алгебраическая сумма сцепленных с ними потоков. Обходы C_k и нормали S_k задаются положительным током обмотки. Из-за рассеяния и различного положения витки могут сцепляться с разными потоками.

Интеграл A\cdot dl по одному замкнутому витку даёт поток этого витка, а не потокосцепление произвольной катушки. Нужна сумма замкнутых интегралов либо эквивалентный интеграл по полному пути обмотки с согласованным замыканием. Только при \Phi_k=\Phi для всех витков получается \Psi =N\Phi. Единица \Psi — Вб; запись «Вб·виток» пояснительная.

Для распределённой обмотки с фиксированной формой плотности тока J=i w используют векторную функцию обмотки w. Тогда \Psi =\int _{\Omega } A\cdot w dV. Она описывает полные замкнутые токовые пути, включая обратные стороны. Функцию единичного тока задают заранее; делить на i в точке i=0 нельзя.

Формула \Psi =(1/i)\int A\cdot J dV при i\ne 0 относится к току именно выбранной обмотки. Подстановка суммы токов других обмоток и вихревых токов не даёт её потокосцепление. При скин-эффекте предположение о фиксированной w может быть недостаточно.

\Psi=\sum_{k=1}^{N}\Phi_k=\sum_{k=1}^{N}\int_{S_k}\mathbf B\cdot\mathbf n_k\,dS=\sum_{k=1}^{N}\oint_{C_k}\mathbf A\cdot d\mathbf l

(8.14)

Общее определение для последовательно соединённых тонких витков с согласованными обходами.

\mathbf J=i\mathbf w,\qquad\Psi=\int_{\Omega_w}\mathbf A\cdot\mathbf w\,dV;\qquad\Phi_k=\Phi\ \forall k\ \Longrightarrow\ \Psi=N\Phi

(8.15)

Интеграл по функции обмотки и частный случай одинакового сцепления.

Энергия и коэнергия

В обратимом материале без гистерезиса энергия получается интегрированием H по изменению B в каждой точке, затем по объёму поля. Коэнергия определяется сопряжённым интегралом B по H. Состояние отсчёта необходимо согласовать: запись от нуля предполагает отсутствие независимого остаточного поля.

Плотность \tfrac12 B\cdot H справедлива для линейной обратимой связи, проходящей через начало координат. При нелинейной B–H характеристике нужен интеграл; при гистерезисе важна история изменения состояния.

Статическую и динамическую индуктивности, секущую и касательную к \Psi (i), рассматривайте на отдельной странице об индуктивностях. Методическая последовательность: поле → потокосцепление и энергия → параметры цепной модели.

W_m=\int_\Omega\int_{\mathbf0}^{\mathbf B}\mathbf H(\mathbf b)\cdot d\mathbf b\,dV,\qquad W'_m=\int_\Omega\int_{\mathbf0}^{\mathbf H}\mathbf B(\mathbf h)\cdot d\mathbf h\,dV

(8.16)

Обратимая энергетическая модель с согласованным нулевым состоянием; единица — Дж.

W_m=W'_m=\frac12\int_\Omega\mathbf B\cdot\mathbf H\,dV\quad\text{(линейная взаимная среда)}

(8.17)

Требуются постоянная симметричная \mu и отсутствие независимого смещения поля.

Какие меры интегрирования скрыты за 2D

В плоской задаче линия \gamma образует поверхность при вытягивании на глубину d, а область \Omega _{\mathrm{2D}} — объём d\cdot S_{\mathrm{2D}}. Интеграл H\cdot dl идёт вдоль самого пути и не умножается на d.

В осесимметрии меридиональная линия вращается вокруг оси z: dS=2\pi r dl, dV=2\pi r dr dz. Единой условной глубины здесь нет. Для одного кругового витка радиуса r поток равен 2\pi r A_\varphi при регулярном потенциале на оси.

В плоском Magnetics ток J_z направлен поперёк чертежа: ток отдельной стороны обмотки интегрируют по её площади x–y без множителя глубины. Для осесимметричного J_\varphi ток через меридиональное сечение тоже не получает множитель 2\pi r. Вес появляется в соответствующей физической мере, а не в любом интеграле.

Встроенные интегралы FEMM учитывают глубину и осесимметрию. Повторное умножение готового потока, энергии или потокосцепления на d либо 2\pi r ошибочно. Ручная сумма по элементам требует перевода геометрии в СИ.

\Phi_{\rm planar}=d\int_\gamma\mathbf B\cdot\mathbf n\,dl,\qquad\Phi_{\rm axi}=\int_\gamma\mathbf B\cdot\mathbf n\,2\pi r\,dl

(8.18)

Линия чертежа представляет вытянутую поверхность либо поверхность вращения.

dV_{\rm planar}=d\,dx\,dy,\quad dV_{\rm axi}=2\pi r\,dr\,dz,\quad\Phi_{\rm circle}=2\pi rA_\varphi

(8.19)

Последняя формула относится к одному круговому витку.

FEMM: интеграл должен совпадать с поставленным вопросом

Контур задают mo_clearcontour() и mo_addcontour(x,y). mo_lineintegral(0) возвращает поток B\cdot n и среднюю нормальную B; mo_lineintegral(1) — H\cdot t и среднюю касательную H. Единицы пары различаются: Вб и Т; А и А/м.

I,U,Psi=mo_getcircuitproperties("coil") возвращает ток, падение напряжения и потокосцепление цепи. Psi уже учитывает заданные витки; повторное умножение на N недопустимо. Проверьте знаки числа витков у прямой и обратной сторон.

Для выбранных областей mo_blockintegral(2) даёт энергию, mo_blockintegral(17) — коэнергию. Укажите выбранные области: энергия только стали не равна энергии всего поля. Контуры проводите вдали от углов и неоднозначной выборки на границе материалов, проверяйте уточнением сетки.

Обратный обход меняет знак ориентированного интеграла. Увеличение числа точек графика не заменяет уточнения конечно-элементной сетки.

Разобранный численный пример

Поток, магнитное напряжение и энергия однородного поля

Дано. Прямоугольник 10 × 20 мм, глубина 100 мм; постоянная \mu_r=1000, B_y=0{,}5\,\mathrm{Т}, B_x=0. Поверхность потока имеет нормаль +y и ширину 10 мм; путь H идёт на 20 мм вдоль +y.

S=0{,}010\cdot 0{,}100=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Интеграл однородного нормального поля \Phi =0{,}5\cdot 0{,}001=0{,}0005\,\mathrm{Вб}.
H=0{,}5/(4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 1000)=397{,}887\,\mathrm{А/м}. Магнитное напряжение выбранного участка равно H\cdot 0{,}020=7{,}95775\,\mathrm{А}. Это не NI неизвестной катушки.
Объём 2·10⁻⁵ м³, энергия W=\tfrac12 BH\Omega =0{,}00198944\,\mathrm{Дж}. Циркуляция H по замкнутому прямоугольнику внутри однородной области равна нулю.
Отдельная обмотка из трёх согласных витков с потоками 0,4; 0,5; 0,6 мВб имеет \Psi =1{,}5\,\mathrm{мВб}. Подстановка N\cdot 0{,}6 дала бы ошибочные 1,8 мВб.

Ответ: \Phi =0{,}5\,\mathrm{мВб}; магнитное напряжение участка 7,95775 А; W=1{,}98944 мДж. У трёх заданных витков \Psi =1{,}5\,\mathrm{мВб}.

Проверка: Аналитический эталон. Удвоение глубины удваивает \Phi и W, но не H\cdot dl по прежнему пути.

Углублённый разбор

Сила между параллельными проводниками: три полевых метода и точный ориентир

Физический объект и система координат

Два длинных параллельных проводника взаимодействуют магнитными полями. В шинопроводах эта сила определяет механическую нагрузку креплений, особенно при больших токах. В плоской модели ток направлен вдоль z, а поперечное сечение лежит в xy. Входные данные — токи, расстояние осей, форма и материал; выходные — поле и сила на заданной активной длине.

Зададим центры сечений x=-10 и +10 мм, y=0; радиус 1 мм; токи +100 А по z; глубина 100 мм. Сила на левый провод направлена по +x. Компонента F_y в идеальной симметрии равна нулю. Противоположные токи создают отталкивание. Явная система координат устраняет неоднозначность старых подписей F_x /F_y.

Методическая идея Байды — решить одну задачу несколькими способами — выполнена на заново построенной геометрии. Здесь объясняется связь физического интеграла с кодом FEMM 5, а не порядковый номер кнопки в старом интерфейсе.

Аналитическая сила и три интеграла

Поле длинного провода снаружи равно \mu _{0}I/(2\pi r). Подстановка в силу I l\times B второго провода даёт \mu _{0}I1I2l/(2\pi d). Для непересекающихся круглых сечений с равномерным током пространственное усреднение внешнего поля согласуется с этим результатом. Концевые эффекты исключены.

Первый полевой метод — объёмный интеграл Лоренца. Он применим к немагнитному проводнику с \mu _{r}=1; собственное поле в идеальном интеграле не создаёт результирующей силы. Второй метод — тензор Максвелла по замкнутому контуру в воздухе. Контур отодвигают от границы проводника, где производные поля особенно чувствительны к сетке. Третий метод, WST, использует весовую функцию и усредняет напряжения в окружающей области.

Нативные коды: blockintegral(11/12) для Лоренца, blockintegral(18/19) для WST, lineintegral(3) для контурной силы. В плоской DC-задаче последний возвращает (F_x , F_y ). Обход контура согласован с внешней нормалью FEMM; изменение обхода позволяет отдельно проверить знак.

F_x=\frac{\mu_0I_1I_2l}{2\pi d},\qquad F_y=0

(8.20)

Положительный F_x относится к левому проводу; токи одинакового направления.

\mathbf F=\int_V\mathbf J\times\mathbf B\,dV=\oint_S\left[\frac{\mathbf B\mathbf B}{\mu_0}-\frac{B^2}{2\mu_0}\mathbf I\right]\mathbf n\,dS

(8.21)

Равенство предполагает воздушный контур, согласованную глубину и магнитостатическую постановку.

Почему методы сходятся с разной скоростью

Линейные элементы восстанавливают B из производных потенциала. Контурный интеграл квадратичен по B и чувствителен к расположению контура в сетке. Три воздушных контура в одном поле относятся к одной физической задаче; их разброс характеризует постобработку, а не три разных физических силы.

WST обычно менее чувствителен к одному контурному выбору, однако тоже требует проверки. В серии изменены ближняя сетка и внешний радиус. Перестроение внешней области меняет внутреннюю триангуляцию, поэтому разность двух радиусов при одинаковом заданном h не является строго чистым эффектом усечения.

Для нулевой F_y нужна абсолютная невязка. Делить её на точное нулевое значение нельзя. Если результат используется для прочности креплений, необходимо отдельно оценить применимость плоской модели и конечную длину проводников.

\varepsilon_x=|F_{x,FE}/F_{x,exact}-1|,\qquad\varepsilon_y^{abs}=|F_{y,FE}|

(8.22)

Разные показатели для ненулевой и нулевой компоненты.

Три метода на двух проводах

Дано. I1=I2=100 А, d=20 мм, l=100 мм; точный ответ F_x =0{,}010000 Н, F_y =0.

h=0.3 мм, R=100 мм: Лоренц F_x =0.010195796 Н, WST F_x =0.010005166 Н; WST F_y=-6,17 × 10⁻⁶ Н.
h=0.15 мм, R=100 мм: Лоренц F_x =0.010037183 Н, WST F_x =0.010006128 Н; WST F_y=-769 × 10⁻⁹ Н.
h=0.15 мм, R=200 мм: Лоренц F_x =0.010074910 Н, WST F_x =0.010009975 Н; WST F_y=1,62 × 10⁻⁶ Н.

Ответ. При h=0{,}15 мм и R=100 мм ошибка Лоренца 0,372%, WST — 0,0613%. Три контурных F_x лежат в пределах 0,010077…0,010134 Н.

Проверка. Перенос границы меняет триангуляцию и не обязан монотонно улучшать каждый интеграл. Все остатки сохранены в таблице.

Самостоятельное воспроизведение и расширение

Запустите 02-conductor-force.py; восстановите направления токов и силы.
Сравните три метода и три контура, выпишите абсолютный остаток F_y.
Для опыта с противоположными токами сначала создайте две независимые цепи, затем измените знак тока одной из них.
Уточните ближнюю сетку при фиксированной области, затем отдельно измените внешний радиус.

Ожидаемый результат. Три варианта сетки и области; для каждого Лоренц, WST и три контура.

Проверка.

Аналитический знак и модуль силы.
Глубина 100 мм.
Абсолютная невязка нулевой компоненты.

Лоренц, WST и три контурных интеграла

Три магнитостатические модели; провода с \mu _{r}=1, без концевых эффектов.

Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.

Скачать программу для встроенного Python FEMM 5

Для запуска сохраните необходимые файлы, сохраняя их имена и структуру подпапок:

"""Два длинных круглых провода: Лоренц, WST и контур Максвелла.
Радиус 1 мм, оси x=+-10 мм, I=100 А, глубина 100 мм, DC.
Одинаковые токи притягиваются; сила левого провода направлена по +x.
Концевые эффекты не учитываются. Сетка и внешний радиус проверяются раздельно.
"""

# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.
import os
import sys

os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))
exec(open("common.py").read())
folder = result_folder("results-conductor-force")
rows = []
exact = MU0 * 100**2 * 0.1 / (2 * math.pi * 0.02)
for mesh, radius in [(0.3, 100), (0.15, 100), (0.15, 200)]:
    newdocument(0)
    mi_probdef(0, "millimeters", "planar", 1e-10, 100, 30)
    material("Air")
    mi_addcircprop("I", 100, 1)
    for x, group in [(-10, 1), (10, 2)]:
        circle(x, 0, 1)
        label(x, 0, "Air", mesh, "I", 1, group)
    label(0, 0, "Air", 2 * mesh)
    # Вдали от проводов достаточно редкой сетки; уточняем рабочую область.
    circle(0, 0, 25)
    label(50, 0, "Air", 5)
    a0_circle(radius)
    solve(folder, "mesh-%g-R-%g" % (mesh, radius))
    mo_groupselectblock(1)
    lorentz = [mo_blockintegral(11), mo_blockintegral(12)]
    weighted = [mo_blockintegral(18), mo_blockintegral(19)]
    mo_clearblock()
    contours = []
    for r in [2, 3, 4]:
        mo_clearcontour()
        # Обход по часовой стрелке соответствует внешней нормали FEMM.
        for x, y in [
            (-10 - r, -r),
            (-10 - r, r),
            (-10 + r, r),
            (-10 + r, -r),
            (-10 - r, -r),
        ]:
            mo_addcontour(x, y)
        contours.append([r, list(mo_lineintegral(3))])
    rows.append(
        {
            "mesh_mm": mesh,
            "outer_radius_mm": radius,
            "exact_Fx_N": exact,
            "Lorentz_N": lorentz,
            "WST_N": weighted,
            "Maxwell_contours_N": contours,
            "elements": mo_numelements(),
        }
    )
    close_magnetic()
    save_json(folder, rows)
assert abs(rows[-1]["Lorentz_N"][0] / exact - 1) < 0.02
print(rows)

Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.

Границы модели.

Собственное изложение и независимая геометрия по методической идее Байды. Координаты и интегралы сверены с FEMM 5.

Первоисточники: [125] (Разбор сил между параллельными проводниками. Доступный PDF содержит 94 страницы, а не 147.).

Практикум в FEMM 5

Сравните полевой, контурный и объёмный расчёты

Таблица 8.4. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Размеры	10 × 20; глубина 100	мм
\mu_r	1000	1
B_y	0,5	Т

Создайте магнитостатическую Planar-модель в миллиметрах, Depth=100, прямоугольник (0,0)–(10,20), линейный материал \mu_x=\mu_y=1000 без тока.
На x=0 задайте A=0, на x=10\,\mathrm{мм} A=-0{,}005\,\mathrm{Вб/м}; верх и низ оставьте с естественным нулевым нормальным производным A. Тогда A_z=-0{,}5x при x в метрах, B_y=0{,}5\,\mathrm{Т}.
После решения проверьте B и H внутри. Горизонтальный контур через середину и mo_lineintegral(0) дают |\Phi |=0{,}5\,\mathrm{мВб}. Сравните с d\cdot |\Delta A_z|, укажите нормаль и обратите обход.
Вертикальный путь длиной 20 мм даёт первое возвращаемое значение mo_lineintegral(1), равное 7,95775 А при направлении +y. Замкнутый прямоугольный контур внутри области должен иметь нулевую циркуляцию.
Выберите блок и получите mo_blockintegral(2). Удвойте глубину, пересчитайте и подтвердите масштабирование \Phi и W при неизменном H\cdot dl.
В отдельной существующей модели катушки проверьте mo_getcircuitproperties и назначение витков; не приписывайте катушку прямоугольному эталону без обмотки.

Ожидаемый результат. |\Phi |=0{,}5\,\mathrm{мВб}; H\cdot dl по +y на 20 мм =7,95775 А; W=1{,}98944 мДж; замкнутая циркуляция H нулевая с погрешностью дискретизации.

Как проверить. Сохраните модель, решение, контуры и таблицу удвоенной глубины. Цель ошибки ненулевых интегралов \le 1\% после уточнения сетки; невязку нулевой циркуляции нормируйте на 7,95775 А.

Обработка и анализ результатов

Какие ток, МДС, поток и потокосцепление описывают один режим?

Сведите токовые, контурные и объёмные результаты с направлением и геометрическим множителем.
Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

С чем сравнить. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Итог работы. Таблица независимых измерений с единицами и объяснением различия потока и потокосцепления.

Самостоятельная работа

Подготовьте описание интегралов: определения, области и ориентации, единицы, результаты FEMM, аналитическая проверка и опыт с глубиной.

Критерий выполнения: Различайте I, МДС, \Phi и \Psi по определению, области и единице; выводите NI и N\Phi только после перечисления условий. Проверяйте поток, H\cdot dl и энергию независимыми способами; объясняйте смену знака при обращении обхода. Учитывайте глубину и осесимметрию в соответствующих мерах интегрирования, не домножайте готовые результаты FEMM. Представьте исходную модель, решение и таблицу проверки; аналитический ответ не подтверждает выполнение FEMM.

Первоисточники и дополнительное чтение по занятию

[33] — 10–12, 42–50, 107–110
[46] — §§ 8.1, 8.4
[45] — §§ 2.6–2.14
[125] — Разбор сил между параллельными проводниками. Доступный PDF содержит 94 страницы, а не 147.

Пояснения и типичные ошибки

Почему \oint A\cdot dl одного витка не определяет потокосцепление произвольной многовитковой катушки?

Это поток одного витка. Потокосцепление последовательной обмотки — сумма замкнутых интегралов с согласованными обходами; N\Phi допустимо только при одинаковом сцепленном потоке всех витков.

Самостоятельно: B_n(x)=0{,}2+10x Т при 0\le x\le 20\,\mathrm{мм}, глубина 50 мм. Найдите поток и ошибку использования максимального B.

\Phi =0{,}05\int _{0}^{0{,}02}(0{,}2+10x)dx=0{,}3\,\mathrm{мВб}. B_{\max}S=0{,}4\,\mathrm{мВб} завышает результат на 33,33%; среднее B_n=0{,}3\,\mathrm{Т} даёт точный поток.

Самостоятельно: замкнутый магнитоквазистатический контур сцеплён со 120 витками 2 А и встречными 30 витками 1 А. Найдите МДС.

Циркуляция H=120\cdot 2-30\cdot 1=210\,\mathrm{А}. H на каждом участке без геометрии и материала неизвестно.

Самостоятельно: четыре согласных витка сцеплены с 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 мВб. Найдите \Psi, затем обратите последний виток.

Сначала \Psi =1{,}4\,\mathrm{мВб}; после обращения последнего витка \Psi =0{,}4\,\mathrm{мВб}. Одного значения потока сердечника недостаточно.

На что обратить внимание

Поток витка и потокосцепление обмотки — разные объекты даже при одной единице СИ.
H в одной точке не заменяет интеграл по неоднородному пути.
Число витков уже учтено в mo_getcircuitproperties.
Открытый интеграл A без замыкания не задаёт потокосцепление.