Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Обоснование численной устойчивости выбранной характеристики
Инженерный вопрос. Сохраняется ли преимущество при уточнении сетки, углов и исходных условий?
Целевая характеристика, ограничения и независимая проверка выбранного варианта превращают серию FEMM в обоснованный выбор конструкции. Поиск имеет смысл только после проверки исходной модели.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Выберите одну защищаемую величину и различите погрешности сетки, внешней области и дискретизации положения. Точность линейного решателя не заменяет эти проверки.
Независимая проверка двух полевых проектов. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите базу и кандидата на одинаковых уточнениях, соседних геометриях и изменённом физическом сценарии.
Ответить на вопрос по своим результатам. Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Проверочная таблица с отдельным учётом численного и физического изменения.
Данные именно этого опыта. Сведите базу и кандидата на одинаковых уточнениях, соседних геометриях и изменённом физическом сценарии.
Оформление наблюдений. Таблица параметра уточнения, числа элементов и одной неизменной по определению величины; отдельная серия для каждого источника численного изменения.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Влияние сетки и углов разделено; условие поиска не перепутано с исходным требованием; повторно открытая модель заново рассчитана; номинальная допустимость не названа полной робастностью.
Независимый контроль. Используйте последовательное уточнение и независимый физический предел; одно совпадение двух грубых сеток недостаточно для оценки порядка сходимости.
Критерий выполнения. Для каждого утверждения приведены файлы и новые расчётные значения; сеточные изменения не объявлены строгой ошибкой без оснований; отрицательные сценарии сохранены; новая лучшая точка проходит тот же набор проверок.
Точность и расхождения. Выполните уровни и допуск, прямо заданные практикумом. Иначе укажите требуемую точность по инженерной задаче до сравнения; изменение соседних решений является оценкой устойчивости, а не доказанной полной погрешностью.
Основание сравнения. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.
Вывод для устройства
Выберите достаточно экономную сетку для требуемой характеристики и покажите, почему именно её устойчивость достаточна для последующего решения.
Границы вывода. Найденный вариант относится к заданной параметризации, диапазону и модели. Успех алгоритма не доказывает глобальное решение или готовность изделия к изготовлению.
Теория и вывод формул
Найденное улучшение проверяется уточнением сетки и углового интегрирования, повторным открытием моделей и исследованием соседних вариантов. Анализ изменённых условий эксплуатации позволяет оценить устойчивость выбранного решения.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Повторяемость спрашивает, получается ли тот же результат из тех же входов. Численная верификация спрашивает, достаточно ли точно решены уравнения выбранной модели. Проверка физической достоверности сопоставляет модель с независимыми данными о реальном объекте. Наконец, проверка поиска спрашивает, остаётся ли найденный вариант предпочтительным среди новых геометрических проб. Один успешный повтор не отвечает на все четыре вопроса.
Оптимизатор особенно склонен выбирать точки, в которых численная погрешность случайно улучшает критерий или ослабляет ограничение. Это эффект отбора: после многих проб найденное значение может быть более оптимистичным, чем типичная ошибка одной оценки. Поэтому итоговые конструкции проверяют независимо от процедуры поиска, уточняя сетку и другие параметры численного решения. Повторного вычисления с прежними настройками недостаточно.
Перед проверкой фиксируют финальные размеры, режим, материал и определение всех показателей. Затем отдельно меняют численные параметры, геометрию соседних кандидатов и физические сценарии. В отчёте каждая серия имеет собственную цель. Если после проверки выбирается новый сосед, он становится новым кандидатом и проходит тот же набор окончательных проверок.
Если \eta действительно ограничивает абсолютные ошибки, такое неравенство подтверждает знак улучшения. Простая разность двух сеток не становится строгой границей ошибки автоматически.
Границы применимости. В учебных полевых примерах подтверждаются воспроизводимость, перечисленные численные проверки и сравнение кандидатов. Экспериментальной проверки полного промышленного объекта они не заменяют.
Пространственная сходимость и вывод экстраполяции
При достаточно регулярном решении и согласованном семействе сеток иногда существует ведущая степенная зависимость ошибки q(h) = q_{0} + Chᵖ. Здесь h — характерный размер элементов, q_{0} — предел при исчезающем h. Вычитание результатов двух сеток устраняет q_{0}, а отношение разностей трёх равномерно уточняемых сеток позволяет оценить наблюдаемый порядок p.
Это асимптотическая модель, а не гарантированное свойство любого интеграла FEMM. Острия, локальные сингулярности, нелинейность, несогласованное измельчение и смена топологии сетки могут давать немонотонную сходимость. Если разности меняют знак или их отношение не соответствует устойчивому порядку, формулу нельзя механически использовать для «точного ответа». Тогда сообщают фактические изменения, уточняют критические области и исследуют дополнительную сетку.
В двумерной неравномерной сетке одно число h не полностью описывает дискретизацию. Помимо общего числа элементов нужно фиксировать размер в зазоре, на кромках и в областях вычисления силы. Увеличение числа элементов далеко от зазора почти не проверяет точность силового интеграла. По двум сеткам можно показать чувствительность результата, но нельзя независимо определить одновременно неизвестные q_{0}, C и p.
Формула имеет смысл при ненулевых разностях, положительном устойчивом порядке и подтверждённом асимптотическом поведении. Модуль внутри логарифма не устраняет необходимость проверить монотонность.
Это оценка абсолютной ошибки мелкой сетки по ведущему члену. Она не является доверительным интервалом и не включает ошибку физической модели.
Разность грубого и среднего результатов равна Chᵖ(rᵖ − 1), а среднего и мелкого — Chᵖ(1 - r⁻ᵖ). Их отношение равно rᵖ; логарифмирование даёт наблюдаемый порядок.
Из q ср - q мел = C(h/r)ᵖ(rᵖ − 1) выделяем ошибку мелкой сетки. Вычитание этого члена из q мел даёт экстраполированный предел.
Угловая сходимость, сдвиг сетки и проверка периода
Для машины нужно отдельно проверить среднее и экстремумы. Увеличение числа точек с 12 до 24 на одном периоде может мало изменить среднее, но заметно изменить размах. Поэтому таблица сходимости содержит оба показателя. Размах не является гладким интегральным функционалом: он зависит от местоположения дискретных максимумов и минимумов.
Сдвиг угловой сетки выявляет экстремумы, которые находились между прежними точками. Проверка полного электрического периода выявляет ошибку предположения о коротком периоде. В машинном пакете компромисс дополнительно рассчитывается на 72 положениях за 180 механических градусов со сдвигом 1{,}25^\circ. Это самостоятельный набор полевых решений, а не интерполяция прежних точек.
Первая серия сравнивает 12 и 24 угла при основной пространственной сетке; следующая сравнивает основную и мелкую пространственные сетки при тех же 24 углах. Так можно отделить два источника изменения. Если одновременно уточнить сетку и углы и увидеть 0,1 %, нельзя утверждать, что оба источника по отдельности малы: их вклады могли частично компенсироваться.
\theta сдв изменяет узлы выборки, сохраняя периодический интервал. При истинной периодичности точное среднее не зависит от сдвига.
Соседние геометрии и повторное открытие модели
Минимальный шаг алгоритма не доказывает локальную оптимальность. После завершения поиска нужно отдельно проверить геометрических соседей, в том числе направления вдоль активной границы. Для двух размеров можно построить осевые и диагональные пробы с заранее выбранным физическим шагом, соответствующим точности модели и технологии.
При сравнении следует различать исходное физическое ограничение и усиленное требование поиска. В электромагнитном пакете физическая сила должна быть не меньше 50 Н; рабочий поиск использует 50,5 Н как численный резерв. Сосед с 50,3 Н может удовлетворять исходному требованию и давать меньшие потери, но не проходит усиленное условие. Если это обнаружено, итог нельзя называть минимумом всей физически допустимой области. Он относится к области с резервом либо остаётся лучшим среди конкретных проверок.
Независимый запуск повторного открытия устраняет зависимость от текущего документа и неявно сохранённого состояния. Сохранённый FEM открывают в новом расчётном сеансе, сохраняют новую рабочую копию, заново решают и извлекают контрольный интеграл. Контрольная сумма подтверждает неизменность входного файла; совпадение силы подтверждает повторяемость именно этой версии. Открыть готовый ANS без нового анализа недостаточно для проверки возможности пересчёта.
\delta i задаётся в физических единицах соответствующего размера. Недопустимый сосед сохраняется с причиной и не считается улучшением ограниченной задачи.
Первое неравенство — инженерное требование учебной задачи; второе — выбранное усиленное условие поиска. Области различаются, и это отражают в заключении.
Границы применимости. Если проверка соседей находит лучший допустимый вариант, его принимают или явно объясняют дополнительное ограничение. В итоговую оценку включаются все проверенные точки, в том числе не удовлетворяющие ограничению.
Робастность: неблагоприятные условия вместо одного номинала
Номинальный оптимум относится к определённым зазору, току, температуре и магнитным характеристикам. Робастный проект должен выполнять требования при оговорённых вариациях. Сначала задают множество неопределённых условий U: например, увеличение рабочего зазора, уменьшение тока питания или снижение остаточной индукции при температуре. Эти изменения требуют физических исходных данных, а не произвольного процента «на всякий случай».
Полная робастная оптимизация включает неблагоприятное условие внутри каждого вызова поиска и может резко увеличить число полевых решений. В учебном разделе сначала выполняется номинальный поиск, затем проверочные сценарии выбранной конструкции. Это анализ устойчивости кандидата; он не превращает его задним числом в решение полной робастной задачи.
В машинном пакете дополнительная серия при амплитуде 7,5 А показывает, выполняется ли прежнее требование момента при уменьшенном токе. Если нет, отчёт фиксирует нарушение, а не объявляет его ошибкой FEMM. Требование 8 Н·м было задано для режима 10 А. Чтобы требовать его и при 7,5 А, необходимо расширить исходную постановку и повторить поиск.
В электромагните рост зазора уменьшает силу, а рост температуры увеличивает сопротивление меди. При заданном токе потери возрастают; при заданном напряжении одновременно уменьшается ток, и задача становится другой. Без явно выбранной схемы питания нельзя механически переносить формулу I^{2}R между этими режимами.
Сохранённый проверочный расчёт выбранного электромагнита при увеличении зазора с 1,00 до 1,02 мм дал силу около 48,706 Н, то есть меньше физических 50 Н. Эти поля были получены также для проверки производной коэнергии. Результат показывает конкретную границу: номинальный численный резерв не обеспечивает допустимость при таком увеличении зазора. Робастный повторный поиск по диапазону зазоров не выполнен и не объявляется завершённым.
Это постановка робастной оптимизации. Конечный набор сценариев приближает U; он не охватывает всё непрерывное множество без дополнительного обоснования.
Первая линейная оценка для независимых интервальных границ. Она пригодна для малых возмущений и не заменяет нелинейные пересчёты у активных ограничений.
\alpha 20 — температурный коэффициент сопротивления выбранной меди, 1/°C. Формула предполагает неизменную геометрию и известный диапазон применимости; коэффициент требует указания источника.
Физические проверки силы и окончательный вердикт
Для электромагнита сравниваются сила по взвешенному тензору, производная коэнергии по зазору, изменение сетки и удаление внешней границы. Это разные проверки одного магнитостатического состояния. Производная требует двух дополнительных полей при I = \mathrm{const}; слишком большой шаг даёт ошибку конечной разности, слишком малый усиливает сеточную неровность.
В машине тензорный момент, угловое усреднение и геометрический объём должны иметь независимые проверки арифметики и единиц. Если при уточнении меняется доминирование, пересчитывают фронт на согласованном наборе и объясняют новый выбор. Нельзя сопоставлять уточнённую компромиссную точку с грубо рассчитанной базой и приписывать всю разницу геометрии.
Окончательный вердикт содержит три части: выполняются ли требования в заданном режиме; насколько устойчивы критерии к выполненным численным и физическим проверкам; какие проверки ещё нужны для реального применения. Отрицательный сценарный результат является полезным ограничением области применимости, а не поводом исключить строку из отчёта.
Расхождение двух численных способов полезно для диагностики, но их близость не доказывает правильность материала и соответствие реальному аппарату.
Разобранный численный пример
Когда три сетки допускают оценку ошибки
Дано. Специально заданный аналитический закон q(h) = 20 + 0{,}08h^{2} Н. При h = 1; 0,5; 0,25 получены 20,08; 20,02; 20,005 Н. Это аналитический пример.
Отношение уточнения r = 2. Разности результатов: 0,06 и 0,015 Н; их отношение равно 4.
Экстраполированный предел равен 20{,}005 + (20{,}005 - 20{,}02)/(4 - 1) = 20 Н. Оценка ошибки мелкой сетки — 0,005 Н.
Если два кандидата различаются только на 0,003 Н, такая сеточная оценка не позволяет уверенно ранжировать их. Нужно одинаковое дальнейшее уточнение либо признание неразличимости на достигнутом уровне.
Ответ: Наблюдаемый порядок p = 2; предел q_{0} = 20 Н; оценка ошибки мелкой сетки 0,005 Н при выполнении заданного степенного закона.
Проверка: Три значения специально построены в асимптотическом режиме. Для реальных неравномерных сеток такой режим проверяют, а не принимают из этого примера.
сетка, внешняя область, коэнергия, соседние размеры и сценарии
Машина
12/24 угла; основная/мелкая сетка; 72 сдвинутых угла за 180^\circ; ток 7,5 А
Повторное открытие
verify_models.py каждого учебного пакета
Зафиксируйте выбранные геометрии и их контрольные суммы. Запустите verify_models.py встроенным Python FEMM 5: он открывает сохранённые FEM, создаёт новые рабочие копии, заново решает их и сравнивает контрольные интегралы.
Для электромагнита сопоставьте основную и уточнённую сетки, затем увеличенную внешнюю область. Отдельно сравните силу по тензору и по производной коэнергии при неизменном токе.
Проверьте соседние геометрические пробы. Отметьте, к какой области относится улучшение: физическое F \ge 50 Н либо усиленное F \ge 50{,}5 Н. Если появился лучший допустимый сосед, не скрывайте его.
Для базовой, компромиссной и максимальной по моменту геометрии SPM сравните 12 и 24 угла на основной сетке; затем основную и мелкую сетки при 24 углах.
Для компромисса изучите 72 сдвинутых положения на полном электрическом периоде. Сравните среднее и размах с коротким периодом; проверьте отсутствие дублирования крайних точек.
Изучите проверку при 7,5 А. Для электромагнита выполните по инструкции отдельные изменения зазора или тока и явно запишите, какие из них входят в техническое задание.
Постройте итоговую таблицу: исходный режим, уточнение, изменение критерия, запас ограничения и вердикт. Сравните улучшение критерия с изменениями сетки и угловых точек; укажите численный резерв, при котором знак улучшения перестаёт быть уверенным.
Ожидаемый результат. Таблица независимых проверок с новыми полевыми решениями и полным перечнем прошедших и не прошедших сценариев.
Как проверить. Влияние сетки и углов разделено; условие поиска не перепутано с исходным требованием; повторно открытая модель заново рассчитана; номинальная допустимость не названа полной робастностью.
Обработка и анализ результатов
Сохраняется ли преимущество при уточнении сетки, углов и исходных условий?
Сведите базу и кандидата на одинаковых уточнениях, соседних геометриях и изменённом физическом сценарии.
Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.
С чем сравнить. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.
Итог работы. Проверочная таблица с отдельным учётом численного и физического изменения.
Проверка аналитического эталона во встроенном Python
Программа выполняется встроенным Python FEMM 5 без внешних пакетов. Она проверяет только явно заданный аналитический пример; полевой практикум выполняется отдельно указанной программой.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Проверка найденной конструкции: сетка, углы, соседи и изменённые условия.Среда: встроенный Python FEMM 5.Проверяется только авторский аналитический эталон, полевой решатель не вызывается.Полученные числа не являются квитанцией расчёта электромагнита или машины."""# Синтетические значения в ньютонах заданы на трёх сетках с одинаковым отношением размеров.# До логарифмирования проверяем знак разностей, затем выводим наблюдаемый порядок и предел.importmathcoarse,medium,fine,ratio=20.08,20.02,20.005,2.0d1,d2=coarse-medium,medium-fineifd1*d2<=0:raiseValueError("Монотонный асимптотический режим не подтвержден")order=math.log(abs(d1/d2))/math.log(ratio)iforder<=0:raiseValueError("Положительный порядок не подтвержден")limit=fine+(fine-medium)/(ratio**order-1)print("Наблюдаемый порядок:",order)print("Предел синтетического примера, Н:",limit)
Выполненные полевые расчёты и программы FEMM 5
Данные ниже получены в установленном FEMM 5. Интерактивный разбор использует сохранённые результаты; для нового поиска скачайте программу и необходимые данные, сохранив имена файлов и подпапок, и запустите run.py во встроенном Python FEMM 5. reproduce.py или verify_models.py выполняет отдельный контроль сохранённых моделей.
Тяговый чашечный электромагнит
В основной серии выполнено полевых решений: 161. Вариант, выбранный по заданным правилам: 151.
Подготовьте протокол проверки электромагнита и SPM. Включите отдельные численные уточнения, повторное открытие, геометрических соседей и минимум один физический сценарий; дайте ограниченный доказательствами итоговый вердикт.
Критерий выполнения: Для каждого утверждения приведены файлы и новые расчётные значения; сеточные изменения не объявлены строгой ошибкой без оснований; отрицательные сценарии сохранены; новая лучшая точка проходит тот же набор проверок.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[33] — Редакция от 1 октября 2026 г.; магнитные задачи и команды mi_/mo_
[50] — Проверка пространственной сходимости и условий экстраполяции Ричардсона; рекомендации по CFD не означают заранее известного порядка сходимости FEMM
[68] — Взвешенный тензор напряжений; выбор тела, окружение воздухом и сеточная погрешность
[61] — Метод скользящего слоя; угловая дискретизация и расчёт момента
[132] — SIAM Journal on Optimization, 2006, т. 17, № 1, с. 188–217; строгие теоремы MADS не переносятся автоматически на учебный алгоритм
Пояснения и типичные ошибкиПочему совпадение двух запусков не доказывает точность решения?
Детерминированный решатель может дважды воспроизвести одну и ту же сеточную и физическую ошибку. Точность исследуют уточнением и независимым сравнением.
Можно ли независимо определить порядок сходимости по двум сеткам?
Нет, если одновременно неизвестны предел, коэффициент и порядок. По двум сеткам можно показать изменение либо использовать внешний обоснованный порядок, явно раскрыв предположение.
Что означает невыполнение прежнего требования момента при уменьшении тока?
Выбранная геометрия не выполняет это требование в изменённом режиме. Это не отменяет результата для исходного тока; если новый режим обязателен, постановку расширяют и повторяют поиск.
На что обратить внимание
Нельзя оценивать порядок сходимости по двум сеткам, если он заранее не известен из отдельного обоснования.
Одновременное изменение сетки и числа углов может скрыть взаимную компенсацию ошибок.
Модель с численным резервом по силе не обязательно минимизирует потери во всей области исходного физического требования.
Открытие готового решения ANS без нового анализа не доказывает возможность пересчёта FEM.