Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Построение карты отклика и локальных параметров
Инженерный вопрос. Как постоянное смещение меняет пульсацию и локальную производную?
Зазор и рабочий ток выбирают по требуемой индуктивности, запасу энергии и насыщению; переменная составляющая и потери дополнительно ограничивают рабочий режим.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Аналитический эталон. Проверьте вычисление локального параметра по соседним точкам и его зависимость от шага.
Проверяемая серия во встроенном Python FEMM 5. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните ток смещения, потокосцепление, секущую и дифференциальную оценки двух шагов.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте карту в независимых точках; сопоставьте интерполяцию или производную с прямым расчётом и повторите при меньшем шаге.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Сопоставление параметров и оценка пульсации с указанием допустимого малого сигнала.
Данные именно этого опыта. Сохраните ток смещения, потокосцепление, секущую и дифференциальную оценки двух шагов.
Оформление наблюдений. Координаты каждой точки, отклик, шаг производной и способ интерполяции; контрольные точки не должны совпадать с узлами определения параметра.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Нужны три шага тока, независимая сетка, полные \Psi с единицами, оба энергетических интеграла и точные файлы каждой новой точки.
Независимый контроль. Сопоставьте прогноз с прямым расчётом в независимой точке и измените шаг производной или плотность карты отдельно от сетки.
Критерий выполнения. Секущая, касательная, энергетическое отношение и импеданс имеют разные определения и подписи. Производная проверена по трём шагам и сетке; широкая секущая не названа локальной касательной. Для каждого сравнения указаны режим, единицы и способ получения величины.
Точность и расхождения. Разделите невязку полевого решения, ошибку интерполяции и чувствительность производной к приращению. Вблизи нулевого отклика сохраняйте абсолютную оценку с единицей.
Основание сравнения. Используйте определения карты, локальной производной и коэнергии из занятия. Вывод относится к проверенному диапазону; экстраполяция и переход через границу карты требуют отдельного обоснования.
Вывод для устройства
Объясните, в каком диапазоне карта может заменить прямые полевые расчёты в модели цепи или движения и почему за её пределами нужен новый расчёт.
Границы вывода. Секущая индуктивность, малосигнальный наклон и потери относятся к разным определениям и режимам. Температуру и допустимый ток нельзя установить только по запасённой энергии.
Теория и вывод формул
Постоянное подмагничивание определяет рабочую точку, а малая пульсация тока — локальный наклон магнитной характеристики. Секущая и дифференциальная индуктивности рассматриваются совместно с энергией и комплексным сопротивлением, сохраняя различие их физических функций.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Ток сглаживающего дросселя можно представить как i(t)=I0+\Delta i(t). Постоянная составляющая создаёт насыщение; напряжение вызывает изменение полного потокосцепления около этой рабочей точки.
Для обратимой характеристики без постоянных магнитов и остаточного потока отношение \Psi (I0)/I0 задаёт наклон секущей и связывает конечные значения тока и потокосцепления. Производная d\Psi /dI определяет наклон касательной и соотношение малых приращений \Delta \Psi \approx L диф \Delta i. При насыщении эти коэффициенты могут заметно различаться, поэтому выбор индуктивности определяется характером рассматриваемого изменения тока.
Статическая касательная не учитывает автоматически вихревые токи, гистерезис, ёмкость и нагрев. Термин «динамическая индуктивность» без указания частоты, амплитуды и модели неоднозначен.
Локальная оценка для малого изменения состояния при фиксированной геометрии.
Энергия и коэнергия
Для однозначной обратимой \Psi (I) электрическая работа при неподвижной геометрии даёт W=\int i d\Psi. Коэнергия W'=\int \Psi di — другая площадь; интегрирование по частям даёт W+W'=I\Psi.
Равенство W=W'=I\Psi /2 верно для прямой \Psi =LI. Энергетическое отношение 2W/I^{2} у нелинейной кривой в общем случае не равно секущей или касательной.
При гистерезисе состояние зависит от пути. Одной кривой намагничивания недостаточно для описания малых петель и потерь за период; здесь рассматривается обратимая модель.
Положительные направления согласованы; постоянные магниты отсутствуют.
Шаг тока и численная ошибка производной
Центральная разность использует I0-h и I0+h. Большой h усредняет кривую, малый h усиливает ошибку потокосцепления, сетки и решателя. Нужны три шага и отдельный сеточный контроль.
В серии насыщения сохранённые точки 4, 8 и 16 А показывают изменение секущей. Разность между 4 и 16 А — средний наклон широкого интервала, не касательная при 8 А. Близкие симметричные точки рассчитывайте в новой копии.
Если абсолютная ошибка каждого \Psi ограничена \varepsilon \Psi, ошибка центральной разности от неё может достигать \varepsilon \Psi /h; уменьшение h без оценки этой ошибки создаёт ложную точность.
Последняя оценка предполагает гладкую характеристику и ограниченную ошибку каждого решения.
Малый AC-сигнал около DC и конечная пульсация
FEMM 5 связывает incremental-задачу с точным сохранённым DC-решением рабочей точки. Frozen удерживает другую характеристику проницаемости и не заменяет incremental; см. разбор инкрементной и замороженной проницаемости.
Через интеграл u-Ri найдите \Delta \Psi. Сравните локальную \Delta i=\Delta \Psi /L диф с конечным обращением \Psi (I0+\Delta i)-\Psi (I0)=\Delta \Psi. Если касательная заметно меняется, один L диф не описывает весь интервал.
В трансформаторе тока с нагрузкой тоже требуется согласование поля и цепи: независимое задание обоих токов не означает учёт вторичной нагрузки. Это связанная постановка, а не проверка потерь насыщенного реактора.
Разобранный численный пример
Аналитический эталон
Дано. Авторская гладкая обратимая функция \Psi (I)=0{,}06\cdot \tanh (I/5) Вб, I в А. I0=5 А. Напряжение на магнитной части u-Ri =1 В действует 0,5 мс. Функция не является B–H-кривой материала FEMM.
\Psi 0=0{,}0456956494 Вб; L сек=\Psi 0/5=9{,}13912987 мГн.
L диф=(0{,}06/5)·sech²(1)=5,04 мГн.
W'=0{,}3\cdot \ln (\cosh (1))=0{,}130134249 Дж; W=I0\Psi 0-W'=0{,}0983439976 Дж.
Локальная \Delta i\approx 0{,}0005/0{,}00503969210=0{,}0992124102 А. Секущая занизила бы малую пульсацию.
Ответ:L сек=9,139 мГн; L диф=5,04 мГн; W=0{,}098343998 Дж; W'=0{,}130134249 Дж; \Delta i\approx 0{,}0992124 А.
Проверка: При I\to 0 обе индуктивности стремятся к 12 мГн; центральная разность при h=0{,}1; 0,05; 0,025 А сходится к аналитической касательной. Аналитический расчёт по формулам.
Выполните аналитическую программу; сравните секущую и три центральные разности. Подпишите функцию как авторскую обратимую модель.
Скачайте файлы reactor-saturation, изучите учебную B–H-кривую и ограничения без гистерезиса. Запустите штатную reproduce.py во встроенном Python в новой папке.
Сделайте отдельную учебную копию программы для I0=8 А и пар I0±h при h=0{,}4; 0,2; 0,1 А. Сохранённые модели и квитанции старой серии не меняйте.
Для каждой точки сохраните FEM/ANS; проверьте повторное открытие русских свойств, глубину, B–H-кривую и сетку. Получите \Psi через mo_getcircuitproperties для фактической русской цепи.
Вычислите L сек и Lh. Хотя бы одну пару повторите на более мелкой сетке и оцените, превышает ли разность \Psi численную неопределённость.
Для полной DC-модели сравните mo_blockintegral(2), mo_blockintegral(17) и I\Psi по всем областям. Для интегрирования по току нужна более плотная серия, чем две крайние точки.
Оцените допустимость локальной пульсации. Для частотного малого сигнала явно задайте DC-основу incremental; обычный AC-расчёт не объявляйте полной коммутационной моделью.
Ожидаемый результат. Ожидается устойчивый по h и сетке наклон, не значение из аналитической \tanh-функции. W+W'\approx I\Psi проверяют для полной обратимой DC-модели.
Как проверить. Нужны три шага тока, независимая сетка, полные \Psi с единицами, оба энергетических интеграла и точные файлы каждой новой точки.
Обработка и анализ результатов
Как постоянное смещение меняет пульсацию и локальную производную?
Сохраните ток смещения, потокосцепление, секущую и дифференциальную оценки двух шагов.
Проверьте карту в независимых точках; сопоставьте интерполяцию или производную с прямым расчётом и повторите при меньшем шаге.
С чем сравнить. Используйте определения карты, локальной производной и коэнергии из занятия. Вывод относится к проверенному диапазону; экстраполяция и переход через границу карты требуют отдельного обоснования.
Итог работы. Сопоставление параметров и оценка пульсации с указанием допустимого малого сигнала.
Аналитическая самопроверка во встроенном Python FEMM 5
Откройте программу в редакторе встроенного Python FEMM 5 и выполните целиком. Она печатает JSON, проверяет контрольные равенства, не создаёт геометрию и не изменяет старые результаты. Полевой комплект: насыщение дросселя; связанная задача: трансформатор тока с нагрузкой.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Секущая и касательная для авторской обратимой функции Psi(I).Среда: встроенный Python FEMM 5. Входы: А, Вб; выходы: Гн, Дж.Это аналитическая кривая без гистерезиса, не паспорт стали и не FEMM-решение."""importmathimportjsonpsi_sat_Wb,current_scale_A,I0_A=0.06,5.0,5.0defpsi(current_A):# tanh через exp доступен и в минимальном встроенном math.e=math.exp(2*current_A/current_scale_A)returnpsi_sat_Wb*(e-1)/(e+1)psi0=psi(I0_A)x=I0_A/current_scale_Acosh_x=(math.exp(x)+math.exp(-x))/2L_sec_H=psi0/I0_AL_diff_H=psi_sat_Wb/current_scale_A/(cosh_x*cosh_x)coenergy_J=psi_sat_Wb*current_scale_A*math.log(cosh_x)energy_J=I0_A*psi0-coenergy_Jrecords=[]forstep_Ain(0.1,0.05,0.025):derivative=(psi(I0_A+step_A)-psi(I0_A-step_A))/(2*step_A)records.append({"step_A":step_A,"L_central_H":derivative,"relative_error":abs(derivative/L_diff_H-1)})# Проверяем касательную, сходимость разности и тождество энергии/коэнергии.assertabs(L_diff_H-0.005039692099368312)<1e-12assert0<L_diff_H<L_sec_Hassertrecords[-1]["relative_error"]<records[0]["relative_error"]assertabs(energy_J+coenergy_J-I0_A*psi0)<1e-14print(json.dumps({"origin":"author_analytical_reference_not_FEMM","I0_A":I0_A,"psi0_Wb":psi0,"L_sec_H":L_sec_H,"L_diff_H":L_diff_H,"energy_J":energy_J,"coenergy_J":coenergy_J,"ripple_local_A":1.0*0.0005/L_diff_H,"derivative_checks":records}))
Расчётные исследования по теме
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Насыщение изменяет связь тока и потокосцепления. Постоянная индуктивность перестаёт описывать одновременно установившийся поток, запасённую энергию и малое приращение напряжения.
Получите обе индуктивности около выбранного подмагничивания, обоснуйте h и сетку, проверьте энергию и оцените пульсацию для заданных вольт-секунд.
Критерий выполнения: Секущая, касательная, энергетическое отношение и импеданс имеют разные определения и подписи. Производная проверена по трём шагам и сетке; широкая секущая не названа локальной касательной. Аналитическая функция, старые решения и новая серия различены; новые точные модели и квитанции хранятся отдельно.