Магнитный поток, потокосцепление и ЭДС индукции

Вычислять поток как поверхностный интеграл нормальной составляющей B. Определять потокосцепление как сумму потоков отдельных витков. Знать, когда допустимо Ψ = NΦ. Связать изменение потокосцепления с ЭДС при согласованной ориентации

Две обмотки на магнитопроводе: N₁ = 100 · N₂ = 50 · I₁ = 1 А; основные размеры, поле при первичном возбуждении; Ψ₂ = 6,83 мВб. — Двухобмоточный магнитопровод: первичное возбуждение1 — N₁ · 2 — N₂Расчётный образец. Линейная сталь μᵣ = 1000; глубина 20 мм. b и h — наружные размеры сердечника между противоположными поверхностями.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Предварительные понятия

Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

От поля к напряжению на зажимах

Распределённое магнитное поле само по себе не измеряется вольтметром. Прибор на зажимах катушки показывает напряжение, а оно определяется скоростью изменения одной интегральной величины — потокосцепления. Между полем $\uB(\ur,t)$ и показанием вольтметра стоят три шага: поток через поверхность, сумма потоков по виткам, производная по времени. На каждом шаге есть соглашение об ориентации, и каждое из них влияет на знак ответа. Этот урок проходит все три шага с той тщательностью, которой они заслуживают: ошибки в знаке ЭДС и в различении $\Phi$ и $\Psi$ — одни из самых частых в практике.

Магнитный поток

Поток индукции через ориентированную поверхность $S$ с единичной нормалью $\un$ : $\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS .$ Единица — вебер, $1\ \text{Вб}=1\ \text{Тл}\cdot\text{м}^2=1\ \text{В}\cdot\text{с}$ . Поток — скаляр со знаком: смена направления нормали меняет знак $\Phi$ .

Поверхность должна быть ориентирована: для поверхности, натянутой на замкнутый контур $L$ , направление $\un$ и направление обхода $L$ связывают правилом правого винта (обход против часовой стрелки, если смотреть с конца $\un$ ). Для однородного поля, перпендикулярного плоской площадке площади $S$ , $\Phi=BS$ ; в общем случае интеграл приходится вычислять — в лаборатории ниже это делается численной квадратурой.

Поток через контур не зависит от натянутой поверхности

Пусть $S_1$ и $S_2$ — две различные поверхности с одной и той же границей $L$ и нормалями, согласованными с обходом $L$ . Объединение $S_1$ и $S_2$ — замкнутая поверхность, причём на одной из них согласованная нормаль совпадает с внешней, а на другой — противоположна ей. По теореме Остроградского–Гаусса и $\nabla\cdot \uB=0$ : $\oint\uB\cdot\un_{\text{внеш}}\,\dS=\Phi_1-\Phi_2=\int_V\nabla\cdot \uB\,\dV=0\quad\Rightarrow\quad\Phi_1=\Phi_2 .$ Следовательно, можно говорить о потоке, сцепленном с контуром: он один для всех поверхностей, опирающихся на этот контур. Для электрического смещения в области с зарядами такой независимости нет — там $\nabla\cdot \uD=\rho\ne0$ .

То же утверждение получается через векторный потенциал: по теореме Стокса $\Phi=\int_S\nabla\times \uA\cdot\un\,\dS=\oint_L\uA\cdot\dl ,$ и правая часть вообще не содержит поверхности. Для плоской задачи с $\uA=A_z\vec e_z$ контур — длинный прямоугольник глубиной $d$ с продольными сторонами в точках $P_1$ (ток «на нас») и $P_2$ (ток «от нас»): торцевые стороны лежат в плоскости $xy$ и не дают вклада ( $\uA\perp\dl$ ), а продольные дают $\Phi=d\,[A_z(P_1)-A_z(P_2)] ,$ в согласии с результатом предыдущего урока. Для проводников конечного сечения $A_z$ усредняют по сечению каждого проводника. Плоская модель при этом игнорирует лобовые части обмотки — это надо помнить, сравнивая расчёт с измерением.

Потокосцепление обмотки

Обмотка из $N$ витков — это один длинный проводник, образующий $N$ почти замкнутых петель. ЭДС на её зажимах складывается из ЭДС отдельных витков, а каждая из них определяется потоком через свой виток. Поэтому естественная величина для обмотки — сумма потоков.

Потокосцепление

$\Psi=\sum_{k=1}^N\Phi_k ,$ где $\Phi_k$ — поток, сцепленный с $k$ -м витком (при одном и том же, согласованном с направлением тока, правиле ориентации для всех витков). Единица — вебер, как и у потока. Через векторный потенциал $\Psi=\oint_{\text{весь провод}}\uA\cdot\dl$ — интеграл по всему проводнику обмотки.

Приближение равных потоков

Если все витки сцеплены с одним и тем же потоком $\Phi$ , то $\Psi=N\Phi .$ Это выполняется тогда и только тогда, когда через каждый виток проходят одни и те же линии индукции: витки одинаковы по форме и размеру, плотно уложены, а поле не имеет составляющих, замыкающихся между витками. Условия нарушаются при:

рассеянии — часть линий поля замыкается, пройдя лишь через часть витков (длинная катушка в собственном поле, катушка на сердечнике с зазором);
разных размерах витков — конические, многослойные и распределённые обмотки, где $\Phi_k$ зависит от радиуса витка;
большом шаге намотки, когда виток уже не является плоским контуром в однородном поле.

В этих случаях вводят эффективное число витков $N_{\text{эф}}=\Psi/\Phi_1$ или считают $\Psi$ прямым суммированием.

Коническая катушка в однородном поле

$N=10$ витков, радиусы растут от $r_1=10$ мм до $r_{10}=19$ мм с шагом 1 мм, однородное поле $B_0=0{,}1$ Тл вдоль оси. Поток витка $\Phi_k=B_0\pi r_k^2$ , и $\Psi=B_0\pi\sum_kr_k^2=0{,}1\cdot\pi\cdot2185\cdot10^{-6}=6{,}86\cdot10^{-4}\ \text{Вб},$ где $\sum r_k^2=10^2+11^2+\dots+19^2=2185$ мм². Для сравнения: $N\Phi_1=10\cdot0{,}1\cdot\pi\cdot10^{-4}=3{,}14\cdot10^{-4}$ Вб — в 2,2 раза меньше; $N\Phi_{10}=1{,}13\cdot10^{-3}$ Вб — в 1,65 раза больше. Оценка по среднему радиусу 14,5 мм даёт $6{,}61\cdot10^{-4}$ Вб — на 3,8 % ниже точного значения, потому что $\overline{r^2}>\bar r^{\,2}$ . Для конической обмотки понятие «поток катушки» неоднозначно, а потокосцепление определено однозначно.

Закон электромагнитной индукции

Закон Фарадея для контура

ЭДС, индуцируемая в замкнутом контуре $L$ , равна взятой с обратным знаком скорости изменения сцепленного с ним потока: $e=\oint_L\uE\cdot\dl=-\frac{\dd\Phi}{\dd t},\qquad\text{для обмотки}\quad e=-\frac{\dd\Psi}{\dd t}.$ Соглашение об ориентации. Выбирается положительное направление обхода контура (для обмотки — положительное направление тока $i$ ). Нормаль $\un$ к поверхности, через которую считается $\Phi$ , берётся по правилу правого винта относительно этого обхода. ЭДС $e$ положительна, если она стремится создать ток в положительном направлении.

При таком соглашении знак «минус» выражает правило Ленца. Пусть поток растёт, $\dd\Phi/\dd t>0$ . Тогда $e<0$ : ЭДС гонит ток против положительного направления обхода. Такой ток по правилу правого винта создаёт собственное поле, направленное против $\un$ , то есть против нарастающего внешнего потока. Индуцированный ток препятствует изменению потока, которое его породило — вот содержание знака «минус», а не утверждение, что «ЭДС отрицательна».

Полезно разобраться и с другой записью, встречающейся в теории цепей: напряжение на индуктивности $u_L=L\,\dd i/\dd t=\dd\Psi/\dd t$ — со знаком плюс. Противоречия нет: $u_L$ — это напряжение, которое внешний источник должен приложить к катушке, чтобы преодолеть ЭДС самоиндукции, $u_L=-e$ . Знак зависит от того, рассматриваем ли мы катушку как источник ( $e$ ) или как приёмник ( $u_L$ ). В поле же $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$ — дифференциальная форма того же закона с тем же минусом.

Гармонический режим

ЭДС при синусоидальном потоке

Пусть $N$ одинаковых витков площади $S$ пронизываются однородным полем $B=B_0\cos\omega t$ , нормальным к плоскости витков. Тогда $\Psi=NSB_0\cos\omega t=\Psi_m\cos\omega t$ и $e=-\frac{\dd\Psi}{\dd t}=NSB_0\,\omega\sin\omega t=\omega\Psi_m\cos(\omega t-90°).$ Амплитуда ЭДС $E_m=\omega\Psi_m$ ; ЭДС отстаёт по фазе от потокосцепления на четверть периода (в комплексной форме $\cplx E=-\ii\omega\cplx\Psi$ ). Действующее значение $E=\frac{E_m}{\sqrt2}=\frac{2\pi f\,N\Phi_m}{\sqrt2}=4{,}44\,fN\Phi_m ,$ поскольку $2\pi/\sqrt2=4{,}443$ . Это «формула трансформаторной ЭДС».

Из неё видно, что ЭДС пропорциональна частоте и амплитуде потока, но не самому потоку в данный момент: в моменты, когда $\Psi$ максимально, $e=0$ , а когда $\Psi$ проходит через нуль, $|e|$ максимальна. Отсюда же следует связь между напряжением и индукцией в сердечнике трансформатора: при заданном напряжении и числе витков амплитуда потока $\Phi_m=E/(4{,}44fN)$ фиксирована, и индукция $B_m=\Phi_m/S$ определяется сечением.

Число витков трансформатора

Сердечник с сечением $S=25$ см² $=2{,}5\cdot10^{-3}$ м², допустимая амплитуда индукции $B_m=1{,}5$ Тл, $f=50$ Гц, требуемое действующее напряжение обмотки $E=230$ В. $\Phi_m=B_mS=3{,}75\cdot10^{-3}\ \text{Вб},\qquad E_1=4{,}44\cdot50\cdot3{,}75\cdot10^{-3}=0{,}833\ \text{В/виток},\qquad N=\frac{230}{0{,}833}\approx276 .$ Величина «вольт на виток» $E_1=4{,}44f\Phi_m$ — удобный параметр сердечника: все обмотки на нём имеют одинаковую ЭДС на виток (если пренебречь рассеянием).

Виток в поле прямого провода

Прямоугольный контур длиной $\ell=1$ м лежит в одной плоскости с длинным проводом; ближняя сторона на расстоянии $a=1$ см, дальняя — $b=11$ см. Поле $B=\mu_0i/(2\pi r)$ , поток $\Phi=\int_a^b\frac{\mu_0i}{2\pi r}\ell\,\dd r=\frac{\mu_0i\ell}{2\pi}\ln\frac ba=2\cdot10^{-7}\cdot\ln11\cdot i\,\ell=4{,}80\cdot10^{-7}\,i\ \ \text{Вб при }\ell=1\text{ м}.$ При $i=I_m\cos\omega t$ , $I_m=100$ А, $f=50$ Гц: $\Phi_m=4{,}80\cdot10^{-5}$ Вб, $E_m=\omega\Phi_m=314{,}2\cdot4{,}80\cdot10^{-5}=15{,}1$ мВ. Тот же поток получается как $\ell\,[A_z(a)-A_z(b)]$ с $A_z=-(\mu_0i/2\pi)\ln r$ — проверка формулы для плоских задач. Это простейшая модель наводки от силовой шины на соседнюю петлю.

Лаборатория

Лаборатория позволяет пройти всю цепочку от поля к ЭДС. Источник поля — либо однородное $\uB_0$ с задаваемыми модулем и направлением, либо поле кругового витка с током, вычисляемое аналитически через эллиптические интегралы. Поверхность интегрирования — диск, у которого меняются радиус, положение на оси и ориентация нормали; поток через него находится численной квадратурой. Обмотка задаётся числом витков $N$ , радиусом первого витка $r_1$ , шагом, конусностью $\kappa$ (радиус растёт от витка к витку: $r_k=r_1[1+\kappa(k-1)/(N-1)]$ ), положением и ориентацией оси. Выводятся $B_n$ в центре диска, поток $\Phi$ через диск, потоки отдельных витков $\Phi_k$ , потокосцепление $\Psi=\sum\Phi_k$ , для сравнения $N\Phi_1$ и относительное отклонение. В гармоническом режиме всё поле умножается на $\cos\omega t$ (задаются частота $f$ и фаза $\omega t$ , есть анимация); выводятся $e(t)=-\dd\Psi/\dd t$ , амплитуда $E_m=\omega\Psi_m$ и действующее значение $E_m/\sqrt2$ , строятся графики $\Psi(t)$ и $e(t)$ за период; стрелка на обмотке показывает положительное направление обхода.

Открыть опыт: Поток и потокосцепление

Что проверить:

Поверните нормаль диска на $90°$ к однородному полю — поток обратится в нуль; на $180°$ — сменит знак при той же величине.
В поле кругового витка сравните поток через диск того же радиуса на оси и в стороне от неё: поле неоднородно, и $\Phi\ne B_nS$ .
Задайте конусность обмотки и наблюдайте, как расходятся $\Psi$ и $N\Phi_1$ ; отключите конусность — они совпадут.
В гармоническом режиме убедитесь, что $e(t)$ обращается в нуль в максимумах $\Psi(t)$ и достигает амплитуды $\omega\Psi_m$ при переходе $\Psi$ через нуль. Разверните ось обмотки на $180°$ (угол места $-90°$ вместо $90°$ ) — положительное направление обхода сменится, и $\Psi$ вместе с $e$ поменяют знак.

Поток, потокосцепление и индуктивность

Для контура в собственном поле $\Psi$ пропорционально току (в линейной среде): $\Psi=Li$ , где $L$ — собственная индуктивность; для двух контуров $\Psi_{12}=Mi_2$ — взаимная индуктивность. Через векторный потенциал $L=\Psi/i=\dfrac1i\oint\uA\cdot\dl$ ; для плоской обмотки с $N$ витками и глубиной $d$ при усреднении $A_z$ по сечениям прямого и обратного проводников $L=\frac{Nd}{i}\bigl[\langle A_z\rangle_+-\langle A_z\rangle_-\bigr].$ Систематическое изложение этих величин — в уроке об интегральных величинах, расчётные формулы для многих конфигураций — в справочнике [Калантаров].

Распространённые заблуждения

«Поток через катушку». Поток определён для поверхности, а не для тела. Выражение имеет смысл лишь после указания поверхности (или контура, на который она натянута). Для обмотки с рассеянием разные витки сцеплены с разными потоками, и единственная корректная величина — $\Psi$ .
«ЭДС пропорциональна потоку». ЭДС пропорциональна скорости изменения потокосцепления. Сильное постоянное поле не даёт ЭДС вовсе; слабое, но быстро меняющееся — даёт большую. Поэтому $E_m=\omega\Psi_m$ растёт с частотой.
« $\Psi=N\Phi$ всегда». Это приближение, верное для плотной обмотки одинаковых витков без рассеяния. Для конической катушки из примера ошибка превышает 100 %.
Знак ЭДС. Минус в $e=-\dd\Psi/\dd t$ — утверждение о направлении относительно выбранного обхода, а не о том, что ЭДС «отрицательна». Без явного указания положительного направления обхода и нормали знак $e$ не определён. Напряжение на индуктивности $u_L=+\dd\Psi/\dd t$ — та же физика в другом соглашении.
«Поток зависит от формы поверхности». Для поля $\uB$ — нет, в силу $\nabla\cdot \uB=0$ . Это позволяет выбирать поверхность, удобную для расчёта (например, плоскую), но нужно следить, чтобы её граница была в точности нужным контуром.

Вопросы и упражнения

Квадратная рамка со стороной 20 см вращается с частотой 50 об/с в однородном поле $B=0{,}2$ Тл вокруг оси, лежащей в её плоскости перпендикулярно полю. Найдите $\Psi(t)$ для $N=50$ витков и амплитуду ЭДС.
Цилиндрическая катушка радиуса $r$ из $N$ витков находится в однородном поле $B_0$ , направленном под углом $\theta$ к её оси. Запишите $\Psi$ . Почему шаг намотки в этом случае не влияет на результат?
Две концентрические обмотки на одном стержне без рассеяния: $N_1=100$ , $N_2=400$ . Поток $\Phi_m=2$ мВб при $f=50$ Гц. Найдите действующие ЭДС обеих обмоток и их отношение.
Обмотка намотана в два слоя: 20 витков радиуса 10 мм и 20 витков радиуса 12 мм в однородном осевом поле. Найдите $N_{\text{эф}}=\Psi/\Phi_1$ , где $\Phi_1$ — поток внутреннего витка.
Докажите, что при изменении направления обхода контура на противоположное ЭДС $e$ меняет знак, а правило Ленца остаётся в силе.
В плоской модели длиной $d$ две шины сечением $w\times h$ с токами $\pm i$ . Поясните, почему для вычисления $\Psi$ нужно усреднять $A_z$ по сечению шины, а не брать значение в её центре, и в каком случае разница существенна.

Ответы к пунктам 1, 3 и 4

1. $\Psi=NBS\cos\omega t$ с $S=0{,}04$ м², $\omega=2\pi\cdot50=314{,}2$ с⁻¹: $\Psi_m=50\cdot0{,}2\cdot0{,}04=0{,}4$ Вб, $E_m=\omega\Psi_m=125{,}7$ В, $e=125{,}7\sin\omega t$ В.

3. $E_1=4{,}44\cdot50\cdot100\cdot2\cdot10^{-3}=44{,}4$ В; $E_2=4\cdot44{,}4=177{,}6$ В; отношение $E_2/E_1=N_2/N_1=4$ — коэффициент трансформации.

4. $\Psi=B_0\pi(20\cdot10^2+20\cdot12^2)\cdot10^{-6}=B_0\pi\cdot4880\cdot10^{-6}$ , $\Phi_1=B_0\pi\cdot100\cdot10^{-6}$ , $N_{\text{эф}}=48{,}8$ вместо $N=40$ .

Итоги

Магнитный поток $\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS$ определён для ориентированной поверхности; благодаря $\nabla\cdot \uB=0$ он одинаков для всех поверхностей с общей границей, и можно говорить о потоке, сцепленном с контуром: $\Phi=\oint\uA\cdot\dl$ .
Потокосцепление обмотки $\Psi=\sum_k\Phi_k$ ; приближение $\Psi=N\Phi$ верно лишь для одинаковых плотно уложенных витков без рассеяния.
Закон Фарадея $e=-\dd\Psi/\dd t$ требует согласованной ориентации обхода и нормали; знак «минус» — это правило Ленца.
В гармоническом режиме $E_m=\omega\Psi_m$ , $E=4{,}44fN\Phi_m$ ; ЭДС отстаёт от потокосцепления на $90°$ и растёт с частотой.
В плоских задачах потокосцепление вычисляется через разность $A_z$ в прямом и обратном проводниках.

Далее — магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты: как свести расчёт потока в сердечнике с зазором к закону Ома для магнитной цепи и когда это допустимо.