Скалярные и векторные поля. Системы координат

Различать скалярные и векторные поля и их визуальные образы. Переходить между декартовыми и цилиндрическими координатами. Уверенно использовать скалярное и векторное произведения в полевых задачах

Предварительные понятия

Как устроен курс

Поле как функция точки

В теории цепей неизвестными являются несколько чисел — токи ветвей и напряжения узлов. В теории поля неизвестное — функция, заданная в каждой точке области: температура в каждой точке стенки, напряжённость в каждой точке изолятора. Такую функцию положения называют полем. Пока мы отвлекаемся от зависимости от времени: все поля этого урока статические или рассматриваются в фиксированный момент.

Скалярное и векторное поля

Скалярное поле — функция $f(\ur)$ , сопоставляющая каждой точке с радиус-вектором $\ur$ одно число: электрический потенциал $\varphi(\ur)$ , температура $T(\ur)$ , объёмная плотность заряда $\rho(\ur)$ . Векторное поле — функция $\vec F(\ur)$ , сопоставляющая каждой точке вектор: напряжённость $\uE(\ur)$ , индукция $\uB(\ur)$ , плотность тока $\uJ(\ur)$ , плотность теплового потока $\uq(\ur)$ . В трёхмерном пространстве векторное поле — это три скалярные функции (компоненты), связанные выбором базиса.

Поле называют однородным, если оно одинаково во всех точках ( $\uE=\uE_0=\mathrm{const}$ ), и стационарным, если оно не зависит от времени. Эти два свойства независимы: поле заряженного шара неоднородно, но стационарно; поле между пластинами конденсатора, подключённого к источнику переменного напряжения, в каждый момент однородно, но нестационарно.

Визуальные образы полей

Скалярное поле изображают поверхностями уровня $f(\ur)=C$ — эквипотенциальными поверхностями, изотермами, изобарами. В плоских задачах это линии уровня; там, где они густые, поле меняется быстро. Другой образ — раскраска области по значению $f$ (карта температуры); он удобен для восприятия, но плохо передаёт малые перепады.

Векторное поле изображают двумя способами. Стрелки в узлах сетки показывают направление и — длиной или цветом — модуль вектора; это самый честный образ, но при густой сетке он загромождает картину. Линии поля — кривые, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением $\vec F$ ; через каждую точку, где $\vec F\neq0$ , проходит ровно одна линия. Линии наглядно передают топологию поля: откуда оно исходит, где замыкается, как огибает тела. О модуле поля линии говорят лишь косвенно — как напоминает вводный урок, они не являются траекториями частиц, а их густота пропорциональна $|\vec F|$ только в специально построенных картинах.

Для электрического поля линии $\uE$ начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность); линии $\uB$ не имеют начала и конца. Оба факта мы докажем в уроках о дивергенции и интегральных теоремах.

Декартова система координат

Декартова система задаётся началом $O$ и тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$ , образующими правую тройку: $\vec e_x\times\vec e_y=\vec e_z$ . Радиус-вектор точки и произвольный вектор поля записываются как $\ur=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z,\qquad \vec F=F_x\vec e_x+F_y\vec e_y+F_z\vec e_z .$ Главное достоинство декартова базиса — он постоянен: векторы $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$ одинаковы во всех точках пространства, поэтому дифференцировать вектор по координате означает дифференцировать его компоненты. Это свойство, как мы сейчас увидим, не сохраняется в криволинейных координатах.

Цилиндрическая система координат

Большинство электротехнических устройств — провода, кабели, катушки, валы, трубы — обладают осевой симметрией. Для них естественна цилиндрическая система $(r,\alpha,z)$ : $r\ge0$ — расстояние от оси $z$ , $\alpha\in[0,2\pi)$ — азимутальный угол, отсчитываемый от оси $x$ к оси $y$ , $z$ — та же координата, что и в декартовой системе.

Связь декартовых и цилиндрических координат

$x=r\cos\alpha,\quad y=r\sin\alpha,\quad z=z;\qquad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \alpha=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}\ (\text{с учётом четверти}),\quad z=z .$ Базисные векторы направлены в сторону возрастания соответствующей координаты при фиксированных двух других: $\vec e_r=\cos\alpha\,\vec e_x+\sin\alpha\,\vec e_y,\qquad \vec e_\alpha=-\sin\alpha\,\vec e_x+\cos\alpha\,\vec e_y,\qquad \vec e_z=\vec e_z .$ Тройка $\vec e_r,\vec e_\alpha,\vec e_z$ ортонормирована и правая: $\vec e_r\times\vec e_\alpha=\vec e_z$ .

Обратные соотношения получаются из тех же формул: $\vec e_x=\cos\alpha\,\vec e_r-\sin\alpha\,\vec e_\alpha$ , $\vec e_y=\sin\alpha\,\vec e_r+\cos\alpha\,\vec e_\alpha$ . Компоненты вектора $\vec F$ в цилиндрическом базисе — его проекции на базисные векторы: $F_r=\vec F\cdot\vec e_r=F_x\cos\alpha+F_y\sin\alpha,\qquad F_\alpha=\vec F\cdot\vec e_\alpha=-F_x\sin\alpha+F_y\cos\alpha,\qquad F_z=F_z .$

Базис зависит от точки

Векторы $\vec e_r$ и $\vec e_\alpha$ — функции угла $\alpha$ , и, дифференцируя их явные выражения, $\frac{\partial\vec e_r}{\partial\alpha}=\vec e_\alpha,\qquad \frac{\partial\vec e_\alpha}{\partial\alpha}=-\vec e_r,\qquad \frac{\partial\vec e_r}{\partial r}=\frac{\partial\vec e_\alpha}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial\vec e_r}{\partial z}=\frac{\partial\vec e_\alpha}{\partial z}=0 .$ Следствие: производная вектора $\vec F=F_r\vec e_r+F_\alpha\vec e_\alpha+F_z\vec e_z$ по $\alpha$ содержит не только производные компонент, но и слагаемые от поворота базиса: $\frac{\partial\vec F}{\partial\alpha}=\Bigl(\frac{\partial F_r}{\partial\alpha}-F_\alpha\Bigr)\vec e_r+\Bigl(\frac{\partial F_\alpha}{\partial\alpha}+F_r\Bigr)\vec e_\alpha+\frac{\partial F_z}{\partial\alpha}\vec e_z .$ Именно эти дополнительные слагаемые порождают множители $1/r$ и $\partial(rF_r)/\partial r$ в формулах градиента, дивергенции и ротора в цилиндрических координатах.

Простой пример: однородное поле $\vec F=F_0\vec e_x$ в цилиндрических координатах имеет компоненты $F_r=F_0\cos\alpha$ , $F_\alpha=-F_0\sin\alpha$ , которые зависят от точки, хотя само поле всюду одно и то же. Обратно: поле $\vec F=F_0\vec e_r$ с постоянной компонентой $F_r=F_0$ — это радиально расходящееся поле, которое вовсе не однородно. Постоянство компонент и однородность поля — разные вещи; совпадают они только в декартовом базисе.

Произведения векторов в полевых задачах

Вся теория поля построена на трёх операциях с векторами, и каждая из них имеет ясный физический смысл.

Скалярное произведение

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=a_rb_r+a_\alpha b_\alpha+a_zb_z,$ где $\theta$ — угол между векторами. Результат — скаляр. Формула через компоненты одинакова в любом ортонормированном базисе — но только если оба вектора разложены по одному и тому же базису в одной и той же точке.

Скалярное произведение даёт проекцию: $F_l=\vec F\cdot\vec l$ — составляющая поля вдоль единичного вектора $\vec l$ ; нормальная составляющая $F_n=\vec F\cdot\un$ входит во все выражения для потока. Оно же даёт работу: элементарная работа силы $\vec F$ на перемещении $\dl$ равна $\dd A=\vec F\cdot\dl$ ; напряжение между точками — работа поля по переносу единичного заряда, $U_{AB}=\int_A^B\uE\cdot\dl$ . Наконец, мощность в единице объёма проводника $p=\uJ\cdot\uE$ (Вт/м³) — тоже скалярное произведение, равное $JE$ лишь при коллинеарных $\uJ$ и $\uE$ (в изотропной среде).

Векторное произведение

$\vec a\times\vec b= \begin{vmatrix}\vec e_x&\vec e_y&\vec e_z\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix} =(a_yb_z-a_zb_y)\vec e_x+(a_zb_x-a_xb_z)\vec e_y+(a_xb_y-a_yb_x)\vec e_z .$ Результат — вектор, перпендикулярный обоим множителям, направленный по правилу правого винта (от $\vec a$ к $\vec b$ по кратчайшему пути), с модулем $|\vec a||\vec b|\sin\theta$ , равным площади параллелограмма на $\vec a$ и $\vec b$ . Произведение антикоммутативно: $\vec b\times\vec a=-\vec a\times\vec b$ . В правом цилиндрическом базисе формула та же с заменой $(x,y,z)\to(r,\alpha,z)$ .

Векторное произведение — язык всего, что связано с вращением и магнетизмом. Площадь: ориентированный элемент поверхности, натянутой на векторы $\dd\vec a$ и $\dd\vec b$ , равен $\un\,\dS=\dd\vec a\times\dd\vec b$ . Момент силы относительно точки: $\vec M=\ur\times\vec F$ . Сила Лоренца на заряд $q$ , движущийся со скоростью $\vec v$ : $\vec F=q\vec v\times\uB$ ; на элемент проводника с током — $\dd\vec F=I\,\dl\times\uB$ (закон Ампера). Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля — векторное произведение напряжённостей $\uE\times\uH$ (Вт/м²); его поток через поверхность, охватывающую устройство, равен передаваемой мощности. Скорость точки вращающегося тела $\vec v=\vec\omega\times\ur$ — пример поля, к которому мы вернёмся при изучении ротора.

Смешанное произведение

$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c= \begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix} .$ Его модуль равен объёму параллелепипеда на трёх векторах; знак положителен, если тройка $\vec a,\vec b,\vec c$ правая. Циклическая перестановка множителей значения не меняет.

Смешанное произведение позволяет проверить ориентацию тройки векторов — например, что $\vec e_r,\vec e_\alpha,\vec e_z$ образуют правую систему: $(\vec e_r\times\vec e_\alpha)\cdot\vec e_z=\vec e_z\cdot\vec e_z=1>0$ . Из него же следует формула объёма элемента в криволинейных координатах.

Элементы длины, площади и объёма

Для вычисления интегралов по кривым, поверхностям и объёмам, которым посвящён следующий урок, нужно знать, как малое смещение точки выражается через приращения координат.

Дифференциалы в декартовых и цилиндрических координатах

При изменении координат на $\dd x,\dd y,\dd z$ точка смещается на вектор $\dl=\dd x\,\vec e_x+\dd y\,\vec e_y+\dd z\,\vec e_z$ , его длина $\dd l=\sqrt{\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2}$ . В цилиндрических координатах изменение угла на $\dd\alpha$ при фиксированном $r$ смещает точку по дуге длиной $r\,\dd\alpha$ — не $\dd\alpha$ : угол безразмерен, а длина измеряется в метрах. Поэтому $\dl=\dd r\,\vec e_r+r\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha+\dd z\,\vec e_z,\qquad \dd l=\sqrt{\dd r^2+r^2\dd\alpha^2+\dd z^2}.$ Элементы площади на координатных поверхностях — произведения двух из трёх длин $\dd r$ , $r\,\dd\alpha$ , $\dd z$ : $\dS\big|_{r=\mathrm{const}}=r\,\dd\alpha\,\dd z,\qquad \dS\big|_{\alpha=\mathrm{const}}=\dd r\,\dd z,\qquad \dS\big|_{z=\mathrm{const}}=r\,\dd r\,\dd\alpha .$ Элемент объёма — произведение всех трёх (смешанное произведение рёбер): $\dV=\dd x\,\dd y\,\dd z=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z .$

Множитель $r$ — геометрический факт, который следует запомнить раз и навсегда: кольцо радиуса $r$ , ширины $\dd r$ и длины $\dd z$ имеет объём $2\pi r\,\dd r\,\dd z$ , и чем дальше от оси, тем больший объём приходится на тот же интервал $\dd r$ . Именно поэтому интегрирование по сечению провода в цилиндрических координатах всегда содержит $r\,\dd r$ , а не $\dd r$ .

Разобранные примеры

Поле заряженной нити в двух системах координат

Бесконечная прямая нить вдоль оси $z$ несёт заряд с линейной плотностью $\tau$ (Кл/м). Из симметрии поле радиально и зависит только от $r$ ; в уроке об интегральных теоремах будет показано, что $\uE=\frac{\tau}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\vec e_r .$ В цилиндрическом базисе поле описывается одной компонентой $E_r=\tau/(2\pi\varepsilon_0r)$ , $E_\alpha=E_z=0$ . Переведём его в декартов базис, подставив $\vec e_r=(x\vec e_x+y\vec e_y)/r$ и $r^2=x^2+y^2$ : $E_x=\frac{\tau}{2\pi\varepsilon_0}\frac{x}{x^2+y^2},\qquad E_y=\frac{\tau}{2\pi\varepsilon_0}\frac{y}{x^2+y^2},\qquad E_z=0 .$ Обе записи описывают одно и то же поле, но вторая требует двух функций двух переменных вместо одной функции одной переменной. Численно при $\tau=10$ нКл/м на расстоянии $r=5$ см: $E=\frac{10^{-8}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}05}=\frac{10^{-8}}{2{,}78\cdot10^{-12}}\approx3{,}6\cdot10^{3}\ \text{В/м}.$ В точке $x=3$ см, $y=4$ см ( $r=5$ см) декартовы компоненты равны $E_x=3{,}6\cdot10^3\cdot0{,}6=2{,}16\cdot10^3$ В/м и $E_y=2{,}88\cdot10^3$ В/м; их модуль снова $3{,}6\cdot10^3$ В/м.

Однородное поле в цилиндрических координатах

Пусть $\uE=E_0\vec e_x$ , $E_0=1$ кВ/м. По формулам проекций $E_r=E_0\cos\alpha$ , $E_\alpha=-E_0\sin\alpha$ . В точке с $\alpha=60°$ : $E_r=500$ В/м, $E_\alpha=-866$ В/м; проверка модуля: $\sqrt{500^2+866^2}=\sqrt{250\,000+750\,000}=1000$ В/м. При $\alpha=0$ поле чисто радиальное, при $\alpha=90°$ — чисто азимутальное и направлено против $\vec e_\alpha$ . Так однородное поле «выглядит» для наблюдателя, пользующегося цилиндрическими компонентами — например, при расчёте поля вокруг цилиндрического провода, внесённого в однородное внешнее поле.

Скорость вращающегося диска

Диск вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\omega=100$ рад/с. Скорость точки $\vec v=\vec\omega\times\ur=\omega\vec e_z\times(x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z)=\omega(-y\vec e_x+x\vec e_y)$ . В цилиндрических координатах: $v_r=\omega(-y\cos\alpha+x\sin\alpha)=\omega r(-\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha)=0$ , $v_\alpha=\omega(y\sin\alpha+x\cos\alpha)=\omega r$ . На радиусе $r=0{,}2$ м скорость $v=20$ м/с, направлена по $\vec e_\alpha$ . Одна цилиндрическая компонента вместо двух декартовых — и ясный смысл: движение по окружности.

Поля и произведения векторов в физике

Величина	Выражение	Единица	Смысл операции
Напряжение	$U_{AB}=\int_A^B\uE\cdot\dl$	В	проекция поля на путь
Поток индукции	$\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS$	Вб	нормальная составляющая
Плотность потерь	$p=\uJ\cdot\uE$	Вт/м³	работа поля над током в единице объёма
Сила Лоренца	$\vec F=q\vec v\times\uB$	Н	перпендикуляр к скорости и полю
Сила Ампера	$\dd\vec F=I\,\dl\times\uB$	Н	перпендикуляр к току и полю
Плотность потока энергии	$\uE\times\uH$	Вт/м²	перенос энергии поперёк $\uE$ и $\uH$
Элемент объёма	$(\dd\vec a\times\dd\vec b)\cdot\dd\vec c$	м³	объём параллелепипеда

Типичные ошибки

« $\vec e_r$ — постоянный вектор». Нет: его направление меняется от точки к точке. Складывать векторы $F_1\vec e_r$ и $F_2\vec e_r$ , взятые в разных точках, по правилу $(F_1+F_2)\vec e_r$ нельзя — сначала нужно перейти в общий базис.
Пропущенный множитель $r$ . Смещение по углу равно $r\,\dd\alpha$ , элемент площади на торце — $r\,\dd r\,\dd\alpha$ , элемент объёма — $r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ . Компонента $F_\alpha$ — физическая составляющая в метрах на секунду, вольтах на метр и т. д., а не производная по углу.
Смешение $r$ цилиндрического и $|\ur|$ . В цилиндрических координатах $r=\sqrt{x^2+y^2}$ — расстояние до оси, а не до начала координат: $|\ur|=\sqrt{r^2+z^2}$ .
Нарушение порядка в векторном произведении. $\vec v\times\uB\ne\uB\times\vec v$ ; направление силы Лоренца определяется порядком множителей и правой тройкой базиса.
Градусы в формулах. В $\dd l=r\,\dd\alpha$ угол измеряется в радианах; при $\alpha$ в градусах появляется множитель $\pi/180$ .

Вопросы и упражнения

Точка имеет декартовы координаты $(-2,\ 2,\ 3)$ м. Найдите её цилиндрические координаты и выразите векторы $\vec e_r$ , $\vec e_\alpha$ в этой точке через $\vec e_x,\vec e_y$ .
Поле $\vec F=y\vec e_x-x\vec e_y$ . Найдите компоненты $F_r$ , $F_\alpha$ . Как направлено поле относительно окружностей $r=\mathrm{const}$ ?
Вычислите $\vec e_r\times\vec e_z$ и $\vec e_z\times\vec e_\alpha$ . Проверьте результат через явные выражения базисных векторов при $\alpha=0$ .
Электрон ( $q=-1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл) движется со скоростью $\vec v=10^6\,\vec e_x$ м/с в поле $\uB=0{,}01\,\vec e_z$ Тл. Найдите силу Лоренца (вектор) и объясните, почему она не совершает работы.
Найдите объём слоя $a\le r\le b$ , $0\le z\le\ell$ двукратным способом: интегрированием $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ и как разность объёмов цилиндров. При $a=1$ см, $b=3$ см, $\ell=1$ м сравните числа.
Почему скалярное произведение двух векторов можно вычислять через цилиндрические компоненты только тогда, когда оба вектора взяты в одной точке?

Ответы к пунктам 1, 2 и 4

1. $r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\approx2{,}83$ м, $\alpha=135°=3\pi/4$ (вторая четверть), $z=3$ м. $\vec e_r=\cos135°\,\vec e_x+\sin135°\,\vec e_y=(-\vec e_x+\vec e_y)/\sqrt2$ , $\vec e_\alpha=-\sin135°\,\vec e_x+\cos135°\,\vec e_y=(-\vec e_x-\vec e_y)/\sqrt2$ .

2. $F_r=y\cos\alpha-x\sin\alpha=r\sin\alpha\cos\alpha-r\cos\alpha\sin\alpha=0$ ; $F_\alpha=-y\sin\alpha-x\cos\alpha=-r$ . Поле касательно к окружностям и направлено по ходу часовой стрелки (против $\vec e_\alpha$ ); это вращение с $\omega=-1$ рад/с.

4. $\vec F=q\vec v\times\uB=-1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^6\cdot0{,}01\,(\vec e_x\times\vec e_z)=-1{,}6\cdot10^{-15}(-\vec e_y)=1{,}6\cdot10^{-15}\,\vec e_y$ Н. Сила перпендикулярна скорости: $\vec F\cdot\vec v=0$ , работа $\vec F\cdot\dl=\vec F\cdot\vec v\,\dd t=0$ .

Итоги

Скалярное поле — число в каждой точке (изображается поверхностями уровня), векторное — вектор (стрелки, линии поля). Линии поля передают направление, а не траектории.
Декартов базис постоянен; цилиндрический базис $\vec e_r,\vec e_\alpha$ поворачивается с точкой: $\partial\vec e_r/\partial\alpha=\vec e_\alpha$ , $\partial\vec e_\alpha/\partial\alpha=-\vec e_r$ .
Компоненты в цилиндрическом базисе — проекции: $F_r=F_x\cos\alpha+F_y\sin\alpha$ , $F_\alpha=-F_x\sin\alpha+F_y\cos\alpha$ .
Скалярное произведение — проекция и работа; векторное — площадь, момент, сила Лоренца, поток энергии; смешанное — объём и ориентация.
Элементы длины, площади и объёма в цилиндрических координатах содержат множитель $r$ при $\dd\alpha$ : $\dl=\dd r\,\vec e_r+r\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha+\dd z\,\vec e_z$ , $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ .

Далее — кривые, поверхности и интегралы по ним: как из локальных величин поля получаются напряжение, поток, ток и заряд.