FEMM 5

Лабораторная работа

Измерительная рамка: от поля провода к ЭДС

Цель. Определить взаимную индуктивность M, амплитудное и действующее значения ЭДС измерительной рамки. Оценить погрешность восстановления ЭДС по дискретным значениям потокосцепления.

Связь с проектированием. Выбрать число витков, расположение рамки и частоту дискретизации для заданной чувствительности к переменному току.

Задачи

  1. Проверить знаки и масштаб потокосцепления реальной двухсторонней обмотки.
  2. Сопоставить M по FE и аналитическому интегралу.
  3. Сравнить центральную производную \Psi (t) со спектральной формулой ЭДС.
  4. Проверить полевую сетку и число временных отсчётов независимо.

Исходные данные и условия опыта

Длинный провод радиусом 0,5 мм; немагнитная среда. Две активные стороны рамки на 10 и 20 мм, N_{100}, lz100 мм.

Источник 10 А peak; ток рамки 0. Частота 50 Гц используется для восстановления ЭДС из статического линейного коэффициента M.

Теория расчётного метода

Уравнение поля, материалы и границы

В магнитоквазистатической постановке закон полного тока связывает поле с заданным током, а отсутствие магнитных зарядов требует непрерывности нормального магнитного потока. В плоской модели эти условия удобно выполнить через единственную составляющую векторного потенциала A_z. Скалярная магнитная проницаемость либо нелинейная зависимость H(B) замыкает систему.

На границе материалов сохраняется нормальная составляющая B; тангенциальная H непрерывна при отсутствии поверхностного свободного тока. Внешняя граница и симметрия являются физическими условиями задачи. Их изменение проверяется отдельно от уменьшения конечных элементов: сходимость внутри неверной области не устраняет ошибку постановки.

\nabla\times\mathbf H=\mathbf J,\quad \nabla\cdot\mathbf B=0,\quad \mathbf B=\nabla\times(A_z\mathbf e_z)
Статическая/квазистатическая система без существенного тока смещения.
\nabla\cdot(\nu\nabla A_z)=-J_z,\qquad B_x=\partial_y A_z,\quad B_y=-\partial_x A_z
Здесь \nu =1/\mu; производные берутся по координатам в метрах, если A_z задан в Вб/м.

Литература по методу: Уравнения Максвелла и материальные соотношения · PDF3–20; Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF1–12,24–31; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF1–11

От потенциала к потоку и реальной обмотке

Разность A_z даёт поток на единицу активной длины. После умножения на фактическую длину получают веберы. Потокосцепление реальной обмотки определяется суммой вкладов всех её сторон с их знаками и числами витков; одна контрольная линия потока не заменяет эту сумму при рассеянии.

Сначала выполняют независимое возбуждение цепей. В линейной системе полученные столбцы образуют матрицу индуктивностей. Взаимность проверяет согласованность ориентации сторон и численного извлечения; положительность энергии проверяет физическую допустимость матрицы. При насыщении разделяют секущую и дифференциальную индуктивности.

\Phi=l_z\Delta A_z,\qquad \Psi_k=l_z\sum_jN_{kj}\langle A_z\rangle_{S_j}
Знаки разностей и N согласованы с нормалями и направлениями обмотки; усреднение соответствует распределённой стороне катушки.
\boldsymbol\Psi=\mathbf L\mathbf i,\quad L_{kj}\simeq L_{jk},\quad L_{\rm sec}=\Psi/i,\quad L_{\rm diff}=\partial\Psi/\partial i
Матрица постоянна только для линейного материала при фиксированной геометрии.

Литература по методу: Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF24–31; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF9–11; Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова) · PDF1–20

Потокосцепление рамки и количественный закон Фарадея

Пассивная рамка возле длинного провода позволяет проверить цепочку поле→потокосцепление→напряжение без модели железа. В плоском сечении учитываются две активные стороны рамки и их противоположные знаки. При нулевом токе рамки её потокосцепление равно M I источника.

Интегрирование поля провода даёт независимое значение M через логарифм отношения расстояний. Для синусоидального тока потокосцепление известно во времени, поэтому ЭДС можно получить центральной производной и спектрально. Уточнение числа отсчётов проверяет динамическое извлечение отдельно от сетки статического поля.

M=\frac{\mu_0Nl_z}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1},\qquad \Psi(t)=MI(t),\qquad e(t)=-\frac{d\Psi}{dt}
Длинный провод, немагнитная среда, плоские активные стороны; ток нагрузки рамки отсутствует.
E_{\rm rms}=\omega M I_{\rm pk}/\sqrt2,\qquad e_k\simeq-\frac{\Psi_{k+1}-\Psi_{k-1}}{2\Delta t}
Фазовая ориентация определяется направлением рамки; RMS/peak согласуются один раз.

Литература по методу: Уравнения Максвелла и материальные соотношения · PDF3–20; Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF13–28; Потокосцепление и ЭДС обмотки: сравнение независимых способов · PDF 1–6: геометрия и прямые методы; 7–12: спектр; 12–13: вращающийся вектор; 14–16: программа и варианты

Параметрическая серия и независимые оси погрешности

Автоматизация сохраняет одинаковую последовательность построения, решения и извлечения для каждого набора параметров. Перед серией фиксируют единицы, признаки материалов и обмоток, точку измерения и требуемую характеристику. Программа должна повторно открывать сохранённую модель, чтобы расчёт относился к записанному варианту.

Изменение сетки, внешней границы, углового шага, числа гармоник и шага времени отвечает на разные вопросы. Сначала получают ряд по одной оси при фиксированных остальных условиях, затем проверяют независимый аналитический или энергетический критерий. Скрипт переносит методику в серию; сам по себе он не заменяет физического обоснования.

\varepsilon_Q(h)=\frac{|Q(h)-Q(h/2)|}{\max(|Q(h/2)|,Q_{scale})}
Для величины, близкой к нулю, используют заранее выбранный абсолютный масштаб Qscale; нельзя делить ошибку на нулевой эталон.

Литература по методу: Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010) · PDF4–13,35–48; Параметризация и автоматизация серий расчётов · PDF1–30; Энергия магнитного поля через векторный потенциал · PDF19–30; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF12–15

Модели для работы

Измерительная рамка: взаимная индуктивность и ЭДС

N=100; активная длина 100 мм; стороны на расстояниях 10/20 мм от длинного провода; ток источника 10 А peak; частота 50 Гц для восстановления ЭДС. Нулевой ток рамки, линейная немагнитная среда.

Рамка-Фарадея-h0p045.femРамка-Фарадея-h0p045.ansreproduce.pyREADME.md

Измерительная рамка: взаимная индуктивность и ЭДС — результаты расчётного опыта.
Измерительная рамка: взаимная индуктивность и ЭДС — результаты расчётного опыта. Открыть график
Результаты расчёта
ВеличинаРезультатЕдиница
M по FE1,384 × 10⁻⁶Гн
M по аналитике1,386 × 10⁻⁶Гн
ЭДС RMS0,003074В
Ошибка производной192отсчёта0,01785%

Последовательное решение

1 · Предсказание потока

Известное поле провода задаёт независимый аналитический эталон.

  1. Задайте нормаль рамки и знаки двух активных сторон.
  2. Проинтегрируйте \mu _{0}I/(2\pi r) от r_{1} до r_{2} и умножьте на Nlz.
  3. Определите M=\Psi /I и предскажите масштаб изменения при изменении N либо r_{2}.

Записать в протокол. Формула и численное M с единицами, ориентированные стороны рамки.

Подробное выполнение: 8.7 · Одна катушка и потокосцепление без смешения с потоком; 54.1 · Поисковая катушка: поток, ЭДС и восстановление B(t)

2 · Три сетки поля

Идеальный нулевой ток рамки отделяет измерение потокосцепления от обратной реакции нагрузки.

  1. Выполните новые полевые решения на трёх размерах сетки.
  2. Извлеките \Psi цепи «Измерительная рамка» и B на расстоянии 15 мм.
  3. Сравните M с аналитикой; проверьте действительное изменение числа элементов.

Записать в протокол. Сетка/элементы/B/\Psi /M/ошибка; модель и сохранённое решение последней сетки.

Подробное выполнение: 8.5 · Источники тока, витки, знаки и связи между токами и напряжениями на выводах; 13.1 · Параметрическая геометрия и обмотки; 13.3 · Автоматический контроль сетки и независимых параметров

3 · ЭДС во времени

Закон Фарадея применяется к фактическому потокосцеплению с выбранным знаком.

  1. Задайте синусоидальный ток 10 А peak на 50 Гц и получите \Psi (t)=MI(t).
  2. Рассчитайте ЭДС центральной производной для 48,96,192 отсчётов на период.
  3. Сопоставьте амплитуду, фазу и RMS с E=ωMIpeak/√2; объясните второй порядок ошибки производной.

Записать в протокол. График e(t), RMS, фазовая ориентация и таблица ошибки по числу отсчётов.

Подробное выполнение: 54.1 · Поисковая катушка: поток, ЭДС и восстановление B(t); 15.1 · Графики и численные массивы встроенного Python: данные, сетка и ограничения пакетов

4 · Выбор чувствительности

Число витков и расположение определяют M, но собственное сопротивление и нагрузка потребуют следующего этапа.

  1. Выполните выбранный самостоятельный вариант числа витков или расстояния второй стороны.
  2. Отделите изменение M от изменения численной ошибки.
  3. Оцените, достаточно ли ЭДС для поставленной измерительной задачи и какие параметры схемы нужно добавить для нагруженного датчика.

Записать в протокол. M и E для контрольного/собственного вариантов, обоснованный выбор и границы модели.

Подробное выполнение: 53.1 · Основы магнитных измерений: поле, поток и измерительная модель; 53.2 · Измерение B, H и потока: датчик Холла и виртуальное измерение в FEMM; 54.1 · Поисковая катушка: поток, ЭДС и восстановление B(t)

Контрольный расчёт и численные результаты

N_{100}, lz0,1м, r_{1}=10 мм, r_{2}=20 мм, Ipeak10 А, f_{50} Гц.

  1. FE даёт M=1,384 × 10⁻⁶ Гн.
  2. ЭДС RMS=0,003074 В.
  3. На 192 отсчётах ошибка центральной производной=0.017848%.

Линейный полевой контроль и отдельная проверка дискретной производной.

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

ВеличинаЕдиницаЧто определяет
MГнПараметр взаимной связи.
Epeak, ErmsВНапряжение измерительной рамки без нагрузки.
\varepsilon E(N)1Ошибка восстановления производной.
  1. Расхождение полевого и аналитического значений M — менее 0,5%.
  2. Ошибка RMS ЭДС на 192 отсчётах менее 0,1%.
  3. Объявлены знак обхода, число витков, активная длина и peak/RMS.

Итоговый вывод. Поле преобразовано в взаимный параметр, а затем в измеримое напряжение. Геометрия и витки выбираются по чувствительности, частота отсчётов — по требуемой точности ЭДС.

Границы применения результата

Литература

  1. Уравнения Максвелла. Раздел 2. — 20 с.
  2. Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
  3. Потокосцепление и ЭДС обмотки: сравнение независимых способов. — 16 с.
  4. Гончаров В. И. Моделирование опытов Эрстеда и Фарадея. — 19 с.
  5. Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
  6. Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.
  7. Рымша В. В., Процына З. П., Якимец А. М. Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом : методические указания. — Одесса : ОНПУ, 2010. — 48 с.
  8. Составление скриптов на языке Lua. — 30 с.
  9. Выражение энергии магнитного поля через векторный магнитный потенциал. Раздел 4. — 30 с.