numpy.linalg

"Пример numpy.linalg.solve.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nРешает A x = b.\nРезультат: ndarray решения формы (n,) для вектора b или (n,nrhs) для матрицы b; тип вещественный, если оба входа вещественные."

import numpy as np
A=np.array([[2,1],[1,3]])
b=np.array([5,7])
x=np.linalg.solve(A,b)
r=np.dot(A,x)-b
assert max([abs(v) for v in r])<1e-8
print(x)

"Пример numpy.linalg.inv.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВычисляет обратную матрицу. Для одной правой части обычно удобнее solve.\nРезультат: Обратная матрица ndarray n×n."

import numpy as np
A=np.array([[2,0],[0,4]])
B=np.linalg.inv(A)
assert abs(B[0,0]-0.5)<1e-10 and abs(B[1,1]-0.25)<1e-10
print(B)

"Пример numpy.linalg.det.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВычисляет определитель матрицы.\nРезультат: float для вещественной матрицы, complex для комплексной."

import numpy as np
v=np.linalg.det(np.array([[2,1],[1,3]]))
assert abs(v-5)<1e-9
print(v)

"Пример numpy.linalg.eig.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВычисляет собственные значения и правые собственные векторы общего квадратного оператора.\nРезультат: Кортеж (w,V): w — complex ndarray собственных значений; столбец V[:,k] — собственный вектор w[k]."

import numpy as np
A=np.array([[0,-1],[1,0]])
w,V=np.linalg.eig(A)
assert len(w)==2
for k in range(2):
    v=np.array([V[0,k],V[1,k]])
    r=np.dot(A,v)-v*w[k]
    assert max([abs(t) for t in r])<1e-7
print(w)

"Пример numpy.linalg.eigvals.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВозвращает только собственные значения, вызывая то же ядро, что eig.\nРезультат: Одномерный complex ndarray собственных значений."

import numpy as np
w=np.linalg.eigvals(np.array([[0,-1],[1,0]]))
assert abs(w[0]*w[0]+1)<1e-7 and abs(w[1]*w[1]+1)<1e-7
print(w)

"Пример numpy.linalg.qr.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВыполняет QR-разложение. У комплексной матрицы ортогональность понимается с сопряжением.\nРезультат: Кортеж (Q,R). Вещественный вход m×n при m≥n: Q m×n, R n×n. Комплексный вход: полное разложение Q m×m, R m×n."

import numpy as np
A=np.array([[2,1],[0,3]])
Q,R=np.linalg.qr(A)
D=np.dot(Q,R)-A
assert max([abs(D[i,j]) for i in range(2) for j in range(2)])<1e-7
print(Q,R)

"Пример numpy.linalg.svd.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВычисляет сингулярное разложение A=U diag(s) Vh.\nРезультат: Кортеж (U,s,Vh) сокращённого разложения: для A формы (m,n) и k=min(m,n) формы равны (m,k), (k,), (k,n). s вещественный и неотрицательный."

import numpy as np
U,s,Vh=np.linalg.svd(np.array([[3,0],[0,2]]))
assert abs(s[0]-3)<1e-7 and abs(s[1]-2)<1e-7
print(s)

"Пример numpy.linalg.pinv.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВычисляет псевдообратную матрицу через встроенное комплексное ядро.\nРезультат: Псевдообратный ndarray формы (n,m) для исходной матрицы (m,n)."

import numpy as np
A=np.array([[2,0],[0,0]])
P=np.linalg.pinv(A)
assert abs(P[0,0]-0.5)<1e-7 and abs(P[1,1])<1e-7
print(P)

"Пример numpy.linalg.cond.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВозвращает отношение наибольшего сингулярного числа к наименьшему. При нулевом минимальном сингулярном числе возвращается inf.\nРезультат: Вещественное число обусловленности."

import numpy as np
c=np.linalg.cond(np.array([[2,0],[0,1]]))
assert abs(c-2)<1e-7
print(c)

"Пример numpy.linalg.norm.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nВозвращает sqrt(sum(abs(a[k])**2)) по всем элементам. Для вектора это евклидова норма, для матрицы — норма Фробениуса.\nРезультат: Неотрицательный float."

import numpy as np
n=np.linalg.norm(np.array([3+0j,4+0j]))
assert abs(n-5)<1e-7
print(n)

"Пример numpy.linalg.matrix_rank.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nОпределяет численный ранг по внутреннему порогу ядра FEMM.\nРезультат: int — численный ранг."

import numpy as np
r=np.linalg.matrix_rank(np.array([[1,2],[2,4]]))
assert r==1
print(r)

"Пример numpy.linalg.rank.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nКороткий псевдоним matrix_rank, сохранённый встроенной средой FEMM.\nРезультат: int — численный ранг."

import numpy as np
r=np.linalg.rank(np.array([[1,2],[2,4]]))
assert r==1
print(r)

"Пример numpy.linalg.lstsq.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nРешает задачу наименьших квадратов как pinv(A)·b. residuals содержит один элемент только при m>n и полном столбцовом ранге; в остальных случаях массив пуст.\nРезультат: Кортеж (x,residuals,rank,s): решение, массив суммы квадратов невязок, численный ранг и сингулярные числа."

import numpy as np
A=np.array([[1],[1],[1]])
b=np.array([1,2,3])
x,res,r,s=np.linalg.lstsq(A,b)
assert abs(x[0]-2)<1e-7 and r==1
assert len(res)==1 and abs(res[0]-2)<1e-7
print(x,res,r,s)

"Пример numpy.linalg.cholesky.\nСреда: встроенный MicroPython FEMM 5.\nРазлагает A=L·L.T. Положительная определённость проверяется численным алгоритмом.\nРезультат: Вещественный ndarray L — нижний треугольный множитель n×n."

import numpy as np
A=np.array([[4,2],[2,5]])
L=np.linalg.cholesky(A)
R=np.dot(L,L.transpose())-A
assert max([abs(R[i,j]) for i in range(2) for j in range(2)])<1e-8
print(L)