Магнитная диффузия, скин-эффект и вихревые токи

Почему переменное поле не проникает в проводник

Поместим массивный медный брусок в переменное магнитное поле. По закону Фарадея в нём возникает вихревое электрическое поле, а поскольку медь проводит, — замкнутые токи, которые называют вихревыми. По правилу Ленца их собственное поле направлено против изменения внешнего: внутри проводника поле ослабляется, а токи и выделение тепла сосредоточиваются у поверхности. Чем выше частота и проводимость, тем тоньше этот поверхностный слой. То же явление для провода с собственным переменным током называют скин-эффектом (поверхностным эффектом): ток «выжимается» на периферию сечения, сопротивление растёт, внутренняя индуктивность падает.

Вихревые токи — одновременно вред и польза. В сердечниках трансформаторов и машин это паразитные потери, с которыми борются шихтовкой (набором из тонких изолированных листов). В индукционных печах, закалочных установках и электромагнитных тормозах то же явление — рабочий механизм нагрева или торможения. В обоих случаях нужен количественный расчёт, и он опирается на одно уравнение — уравнение диффузии поля.

Магнитоквазистатическое приближение

Из уравнений Максвелла в проводящей среде оставим три: закон полного тока без тока смещения, закон Фарадея и локальный закон Ома, $$\nabla\times \uH=\uJ,\qquad \nabla\times \uE=-\frac{\partial\uB}{\partial t},\qquad \uJ=\sigma\uE,$$ и материальное уравнение $\uB=\mu\uH$ с постоянными $\mu$, $\sigma$. Отбрасывание тока смещения $\partial\uD/\partial t$ и есть магнитоквазистатическое (МКС) приближение. Оно оправдано при двух условиях.

1. Ток смещения мал по сравнению с током проводимости: $\omega\varepsilon\ll\sigma$. Для меди при 50 Гц отношение $\sigma/(\omega\varepsilon_0)=5{,}8\cdot10^7/(314\cdot8{,}854\cdot10^{-12})\approx2\cdot10^{16}$; даже на гигагерцах в металлах ток смещения ничтожен.
2. Характерный размер системы $\ell$ много меньше длины волны в окружающем пространстве: $\ell\ll\lambda=c/f$. При 50 Гц $\lambda=6000$ км, при 1 МГц — 300 м. Это условие обеспечивает мгновенность связи между частями системы: запаздыванием можно пренебречь, и поле вне проводников описывается как в магнитостатике [Haus].

Сравнение с нестационарной теплопроводностью не случайно: математика прогрева пластины и проникновения поля в пластину совпадает, различаются лишь коэффициенты и характер источников.

Глубина проникновения

Коэффициент $\ii\omega\mu\sigma$ имеет размерность м⁻². Из него строится единственный масштаб длины задачи.

Проверим первую строку: $\omega\mu_0\sigma=314{,}2\cdot1{,}2566\cdot10^{-6}\cdot5{,}8\cdot10^7=2{,}29\cdot10^4$ м⁻², $\delta=\sqrt{2/(2{,}29\cdot10^4)}=9{,}35\cdot10^{-3}$ м. Для стали проводимость на порядок меньше, что увеличило бы $\delta$ в $3{,}4$ раза, но проницаемость в тысячу раз больше, и в итоге поле проникает в сталь на порядок хуже, чем в медь. Из формулы видно, что $\delta\propto1/\sqrt f$: рост частоты в 100 раз уменьшает глубину в 10 раз.

Полупространство: простейшее точное решение

Пусть проводник занимает область $x>0$, а на его поверхности $x=0$ задано касательное поле $\cplx H_z(0)=\cplx H_0$, не зависящее от $y$ и $z$. Уравнение диффузии становится обыкновенным: $\dd^2\cplx H_z/\dd x^2=\ii\omega\mu\sigma\cplx H_z=k^2\cplx H_z$, где $$k=\sqrt{\ii\omega\mu\sigma}=\frac{1+\ii}{\delta},\qquad\text{поскольку}\qquad(1+\ii)^2=2\ii .$$

Поверхностный импеданс — отношение касательных составляющих $\uE$ и $\uH$ на поверхности: $$Z_s=\frac{\cplx E_y(0)}{\cplx H_z(0)}=\frac{\cplx J_y(0)}{\sigma\cplx H_0}=\frac{1+\ii}{\sigma\delta}=R_s+\ii X_s,\qquad R_s=X_s=\frac{1}{\sigma\delta}.$$ Единица — ом (точнее, ом на «квадрат» поверхности). Поверхностное сопротивление $R_s$ равно сопротивлению слоя толщиной $\delta$ при равномерном токе — ещё одна интерпретация $\delta$. Активная и реактивная части равны: внутренний фазовый угол импеданса массивного проводника всегда $45°$.

Средние потери на единицу поверхности получаются интегрированием объёмной плотности $\tfrac12|\cplx J|^2/\sigma$ (амплитудные фазоры!): $$p=\frac{1}{2\sigma}\int_0^\infty|\cplx J_y|^2\dd x=\frac{|\cplx H_0|^2}{\sigma\delta^2}\int_0^\infty e^{-2x/\delta}\dd x=\frac{|\cplx H_0|^2}{2\sigma\delta}=\tfrac12|\cplx H_0|^2R_s .$$ Так как $\delta\propto f^{-1/2}$, потери массивного тела при фиксированной амплитуде поверхностного поля растут как $\sqrt f$. Для меди при 50 Гц $R_s=1/(5{,}8\cdot10^7\cdot9{,}35\cdot10^{-3})=1{,}84$ мкОм; при амплитуде $H_0=1000$ А/м (это $B_0=\mu_0H_0=1{,}26$ мТл) $p=\tfrac12\cdot10^6\cdot1{,}84\cdot10^{-6}=0{,}92$ Вт/м².

Пластина конечной толщины

Рассмотрим пластину $-h<x<h$ (толщина $2h$) в однородном касательном поле $\cplx H_0$, одинаковом с обеих сторон. Решение симметрично по $x$, поэтому из $e^{\pm kx}$ строим гиперболический косинус: $$\cplx H_z(x)=\cplx H_0\frac{\operatorname{ch}(kx)}{\operatorname{ch}(kh)},\qquad \cplx J_y(x)=-\cplx H_0\,k\frac{\operatorname{sh}(kx)}{\operatorname{ch}(kh)},\qquad k=\frac{1+\ii}{\delta}.$$ Ток антисимметричен: на противоположных сторонах пластины он течёт в противоположные стороны, замыкаясь на далёких краях. Поведение решения определяется единственным безразмерным параметром $h/\delta$.

Толстая пластина, $h\gg\delta$. Вблизи каждой поверхности решение переходит в решение для полупространства; в середине поле практически отсутствует. Потери на единицу площади с двух сторон $p\approx2\cdot\tfrac12|\cplx H_0|^2R_s=|\cplx H_0|^2/(\sigma\delta)\propto\sqrt f$.

Тонкая пластина, $h\ll\delta$. Поле проникает полностью: $\cplx H_z\approx\cplx H_0$, индукция $B=\mu H_0$ одинакова по сечению и равна внешней. Это режим шихтованного сердечника, и потери в нём считаются элементарно.

Круглый провод с током

Для провода радиуса $a$ с собственным током $\cplx I$ в цилиндрических координатах ток $\cplx J_z(r)$ удовлетворяет уравнению $\frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd\cplx J_z}{\dd r}\bigr)=\ii\omega\mu\sigma\cplx J_z$ — уравнению Бесселя нулевого порядка с комплексным аргументом. Ограниченное на оси решение $$\cplx J_z(r)=\cplx J_z(a)\frac{J_0(\kappa r)}{J_0(\kappa a)},\qquad \kappa^2=-\ii\omega\mu\sigma,\qquad \kappa=\frac{1-\ii}{\delta},$$ где $J_0$ — функция Бесселя первого рода [Абрамовиц] (в лаборатории это волновое число обозначено $k$). Полный ток находится интегрированием по сечению, напряжение на единицу длины — как $E_z(a)=J_z(a)/\sigma$ на поверхности, и их отношение даёт внутренний импеданс единицы длины $$Z'=R'_{ac}+\ii\omega L'_{\mathrm{вн}}=\frac{\kappa}{2\pi a\sigma}\frac{J_0(\kappa a)}{J_1(\kappa a)} ,$$ где $R'_{ac}$ — сопротивление переменному току, а $L'_{\mathrm{вн}}$ — внутренняя индуктивность (связанная с потоком внутри провода); внешняя индуктивность зависит от обратного провода и скин-эффектом не затрагивается [Бессонов], [Stoll]. При $\omega\to0$ получаем $R'_{dc}=1/(\sigma\pi a^2)$ и $L'_{\mathrm{вн}}=\mu/(8\pi)$.

Предельные формы удобны для оценок: при $a\ll\delta$ имеем $R_{ac}/R_{dc}\approx1+\frac1{48}(a/\delta)^4$ — поправка четвёртого порядка, скин-эффект «включается» резко; при $a\gg\delta$ ток течёт в кольце толщиной $\approx\delta$ и $R_{ac}/R_{dc}\approx\frac{a}{2\delta}+\frac14$ (это сопротивление кольца $1/(\sigma\cdot2\pi a\delta)$ с поправкой). Внутренняя индуктивность падает, потому что поток внутри провода вытесняется вместе с током: в пределе $L'_{\mathrm{вн}}\approx\mu\delta/(4\pi a)$, а $\omega L'_{\mathrm{вн}}=R'_{ac}$ — тот же угол $45°$, что у поверхностного импеданса. Для медного провода диаметром 2 мм ($a=1$ мм) при 50 Гц $a/\delta=0{,}11$ и скин-эффекта нет; при 10 кГц $a/\delta=1{,}5$ и $R_{ac}/R_{dc}=1{,}10$; при 100 кГц $a/\delta=4{,}8$ и $R_{ac}/R_{dc}=2{,}66$.

Эффект близости

Решение для одиночного провода предполагает осевую симметрию: ток в проводе создаёт только азимутальное поле, и вытеснение одинаково по всему периметру. Если рядом лежит второй проводник — обратный провод шины, соседний виток катушки — его переменное поле наводит в первом проводе дополнительные вихревые токи. Они складываются с собственным током: при встречных токах ток смещается к обращённым друг к другу поверхностям, при согласных — к внешним. Распределение становится несимметричным, эффективное сечение ещё меньше, а потери больше, чем даёт формула Бесселя. Это эффект близости.

Он принципиально не описывается анализом одиночного проводника: его источник — внешнее поле, и в многослойных обмотках (где каждый слой находится в поле всех остальных) именно он, а не собственный скин-эффект, определяет потери. Оценка через $a/\delta$ для одиночного провода в таких случаях служит лишь нижней границей. Строгий расчёт требует решения уравнения диффузии для всей системы проводников совместно — аналитически для бесконечных пластин (как в фольговых обмотках), численно для реальной геометрии.

Лаборатория

В первом режиме лаборатории — проводящая пластина толщиной $2h$ в касательном гармоническом поле с амплитудой $H_0$ с обеих сторон; поле и ток рассчитываются по формулам с гиперболическим косинусом из этого урока. Во втором — круглый провод радиуса $a$ с заданной амплитудой тока $I_m$; решение через функции Бесселя комплексного аргумента. Изменяя частоту $f$, проводимость $\sigma$, проницаемость $\mu_r$ и размер ($h$ или $a$), следите одновременно за четырьмя изображениями: распределением амплитуды $|\cplx J|$ и мгновенного значения плотности тока по сечению, фазорной диаграммой $\cplx J$ на пяти глубинах, временным графиком и картой мгновенной плотности тока в сечении. Анимация по времени показывает, как «гребень» тока движется внутрь — поле в проводнике запаздывает с глубиной. В показаниях: $\delta$ и отношение $h/\delta$ (или $a/\delta$), $|\cplx J|$ на поверхности и в глубине, потери на единицу площади с обеих сторон (пластина) или на единицу длины (провод), поверхностный импеданс $Z_s$ и для сравнения классическая формула тонкого листа (пластина) либо $R_{ac}/R_{dc}$ и внутренняя индуктивность (провод).

Вопросы, на которые лаборатория отвечает наглядно:

• При каком $h/\delta$ фазоры тока у поверхности и на глубине $h/2$ становятся противофазными (в середине пластины $\cplx J=0$ по симметрии)? Сравните с оценкой «$\pi\delta$» для полупространства.
• Увеличивайте частоту при $h\ll\delta$ и при $h\gg\delta$: в каком случае потери растут как $f^2$, в каком — как $\sqrt f$? Где излом?
• Для провода установите $a/\delta=3$ и убедитесь, что $R_{ac}/R_{dc}$ близко к значению из таблицы, а внутренняя индуктивность упала на треть.

Итоги

• В МКС-приближении ($\sigma\gg\omega\varepsilon$, размер $\ll\lambda$) поле в проводнике подчиняется уравнению диффузии $\Delta\uH=\mu\sigma\,\partial\uH/\partial t$, для гармоник — $\Delta\cplx{\uH}=\ii\omega\mu\sigma\cplx{\uH}$.
• Единственный масштаб длины — глубина проникновения $\delta=\sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$; в полупространстве $\cplx H=\cplx H_0e^{-(1+\ii)x/\delta}$: амплитуда затухает, фаза отстаёт.
• Поверхностный импеданс $Z_s=(1+\ii)/(\sigma\delta)$; потери на единицу площади $\tfrac12|\cplx H_0|^2R_s$, $R_s=1/(\sigma\delta)$ (амплитудные фазоры).
• Тонкий лист ($h\ll\delta$): $p_V=(\pi fB_md)^2\sigma/6\propto f^2d^2$ — обоснование шихтовки; толстое тело ($h\gg\delta$): $p\propto\sqrt f$.
• В проводе с ростом $a/\delta$ растёт $R_{ac}/R_{dc}$ и падает внутренняя индуктивность; эффект близости в многопроводных системах не сводится к анализу одиночного провода.

Далее — от поля к интегральным величинам: как из распределённых $\uE$, $\uB$, $\uJ$ получаются ёмкость, индуктивность, сопротивление и импеданс.