Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор параметров конструкции по целевой характеристике и ограничениям
Инженерный вопрос. Как дуга и толщина магнитов меняют средний момент и пульсации?
Целевая характеристика, ограничения и независимая проверка выбранного варианта превращают серию FEMM в обоснованный выбор конструкции. Поиск имеет смысл только после проверки исходной модели.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Запишите параметры, допустимую геометрию, целевую функцию и ограничения с единицами; правила отклонения невозможного варианта задайте до поиска.
Полевой поиск дуги и толщины магнитов. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите размеры магнитов, средний момент, размах и ограничения каждой угловой серии.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Карта критериев с проверенным сравнением базовой и выбранной геометрий.
Данные именно этого опыта. Сведите размеры магнитов, средний момент, размах и ограничения каждой угловой серии.
Оформление наблюдений. Таблица параметров, целевых величин, ограничений, статуса расчёта и причины отказа; сравнение с исходным вариантом при одних условиях.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Режим токов сопоставим между геометриями; объём вычислен в правильных единицах; период и экстремумы не объявлены проверенными только по 12 поисковым точкам.
Независимый контроль. Повторно рассчитайте выбранный вариант вне поисковой процедуры и на уточнённой сетке; для фронта вариантов проверьте допустимость и отсутствие доминирования.
Критерий выполнения. Каждый критерий прослеживается до модели и исходных угловых значений; токи имеют указанную нормировку; среднее и размах различены; границы физической достоверности описаны без приписывания нерассчитанных потерь и размагничивания.
Точность и расхождения. Сопоставьте величину улучшения с численной погрешностью и чувствительностью к исходным данным. Сходимость поисковых итераций не доказывает глобальной оптимальности, а малое изменение целевой функции не определяет физическую точность модели.
Основание сравнения. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Вывод для устройства
Выберите допустимый вариант по реальному компромиссу характеристик, укажите запас к ограничениям и область проверенного поиска.
Границы вывода. Найденный вариант относится к заданной параметризации, диапазону и модели. Успех алгоритма не доказывает глобальное решение или готовность изделия к изготовлению.
Теория и вывод формул
Изменение дуги и толщины магнитов требует построения и решения каждого варианта машины с поверхностными постоянными магнитами. Объём магнитов, момент и его угловое среднее сравниваются при одинаковых условиях токового возбуждения.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Исследуемая электрическая машина и проектные изменения
Синхронная машина с поверхностными постоянными магнитами имеет магниты на наружной поверхности ротора. Их поле сцепляется со статорной обмоткой; правильно ориентированные токи создают средний вращающий момент. Зубцы, пазы и пространственные гармоники вызывают его периодические изменения. В задаче конструкции стремятся одновременно получить достаточный средний момент, уменьшить его пульсации и расход магнитного материала.
Учебная модель имеет 12 открытых пазов и четыре полюса: число пар полюсов p = 2, число пазов на полюс и фазу q = 1. Внутренний и наружный радиусы статора — 60 и 100 мм, пазы шириной 14^\circ доходят до радиуса 85 мм. Наружный радиус ротора 57 мм, радиус вала 18 мм, воздушный зазор 3 мм. Активная длина 80 мм; в пазу 40 витков. Амплитуда синусоидальных фазных токов равна 10 А, а не их действующее значение.
Переменные — полная механическая дуга одного магнита \alpha м = 60…84^\circ и радиальная толщина h м = 5…9,5 мм. Наружный радиус ротора фиксирован, поэтому утолщение магнита уменьшает толщину стальной спинки. Четыре магнита намагничены радиально с чередованием полюсов. Остаточная индукция 1,2 Тл и относительная возвратная проницаемость 1,05 относятся к явно заданной учебной характеристике магнита; температурная зависимость и необратимая ветвь не заданы.
Это самостоятельная параметризованная модель физически узнаваемого типа машины. Она не является цифровой копией серийного двигателя. Нелинейная B–H стали указана в программе и не приписана промышленной марке. Наружная граница A = 0 расположена на квадрате ±170 мм; достаточность области относится к проверяемым предположениям, а не к свойствам самого оптимизатора.
Полная дуга магнита сравнивается с одним полюсным делением. В расчётных формулах площади углы переводят в радианы.
Границы применимости. Статическая модель не рассчитывает потери стали и магнитов от движения, потери преобразователя, нагрев, механическую прочность, торцевое рассеяние и ресурс. По найденному моменту нельзя сделать вывод о полном КПД.
Вывод объёма магнитов и связанные изменения ротора
Каждый магнит — кольцевой сектор, а не прямоугольный блок. При переходе от площади сечения к объёму учитывают активную длину. Объём лучше вычислять непосредственно по проектным размерам: оценка по сумме конечных элементов добавляет ненужную сеточную зависимость в точно известную геометрию.
Для малой толщины можно заменить сектор полосой по среднему радиусу. При использовании наружного радиуса без поправки возникает относительная ошибка порядка h м/(2R нар). В нашей задаче толщина не пренебрежимо мала, поэтому используется точная формула кольцевого сектора.
Объём магнитов — геометрический критерий расхода материала. Он не равен цене, массе всей машины или полной себестоимости. Плотность материала позволяет перейти к массе магнитов; стоимость дополнительно зависит от марки, технологии, отходов и закупки. Эти данные не следует вводить произвольным коэффициентом без указания источника.
Толщина спинки в данной геометрии уменьшается с увеличением толщины магнитов. Это часть физического изменения конструкции, а не ошибка параметризации.
Интеграл по радиусу даёт (R нар² - R вн²)/2, интеграл по углу — \alpha м. Умножение на число магнитов и активную длину завершает переход к объёму.
Почему токи должны изменяться вместе с положением ротора
Поворот ротора при неизменных фазных токах исследует статическую угловую характеристику. Для оценки момента синхронно управляемой машины требуется другой опыт: при каждом механическом положении поворачивается и вектор фазных токов. Тогда относительный угол токового вектора и поля ротора сохраняется.
Начальную электрическую ось ротора определяют отдельным опытом холостого хода для каждой геометрии. Потокосцепления фаз преобразуют в неподвижные компоненты \alpha и \beta; аргумент их вектора задаёт \delta _{0}. Затем выбирают ток по положительной оси q, сдвинутой на 90 электрических градусов относительно оси поля. Такое правило обеспечивает воспроизводимый токовый режим, но не является поиском MTPA в насыщенной машине.
Угол и знак зависят от порядка фаз, положительного направления механического поворота и знака витков. Поэтому базовый режим проверяют по знаку среднего момента и распределению тока. Если вектор потокосцепления холостого хода близок к нулю, его аргумент плохо обусловлен; подобная геометрия требует отдельной диагностики. При заметных гармониках потокосцепления определение оси по одному положению также имеет ограниченную точность и должно быть указано в отчёте.
\theta — механический угол в радианах; \gamma — электрический угол токового вектора. Сумма трёх токов равна нулю. Токи заново задаются при каждом \theta.
Упрощённая dq-модель поясняет роль оси q. В насыщенной машине \Psi м, L_d, L_q не являются универсальными постоянными; приведённая формула не заменяет полевую оценку и не доказывает оптимальность i_d = 0.
От тензора напряжений к моменту и его среднему
В воздушном зазоре касательное напряжение Максвелла равно произведению радиальной и касательной компонент индукции, делённому на \mu _{0}. Элемент цилиндрической поверхности имеет площадь lr d\varphi; касательная сила на нём умножается на плечо r. Это даёт контурное выражение момента. В программе используется интеграл взвешенного тензора напряжений для всей группы ротора, включая магниты и стальную спинку.
Средний момент определяется интегралом по выбранному механическому периоду при согласованном изменении токов. Для равноотстоящих точек периодической функции без повторного включения конечной точки сумма значений, делённая на число точек, равна периодической формуле трапеций. Если включить обе одинаковые крайние точки и взять обычное среднее, одна фаза волны получает лишний вес.
Размах равен разности наибольшего и наименьшего значения. Он характеризует пики и зависит от того, попали ли угловые точки в экстремумы. Действующее значение переменной составляющей оценивает другую характеристику. Относительный размах удобен для сравнения при близком ненулевом среднем моменте; около нуля он неустойчив. Поэтому в многокритериальной задаче основной показатель пульсаций — абсолютный размах в Н·м.
Формула справедлива для цилиндрической поверхности в воздухе; l — длина, м; r — радиус контура, м; момент — Н·м. Угол \varphi на контуре отличается от угла положения ротора \theta.
\Delta T — абсолютный размах, Н·м; k пул — относительный размах; T пер,д — действующее значение переменной составляющей. Эти показатели не взаимозаменяемы.
Число угловых точек и маскировка гармоник
Даже правильно вычисленный момент отдельного положения не гарантирует правильной оценки среднего и размаха. При слишком редкой сетке некоторые гармоники выглядят постоянными или исчезают. Это наложение частот при дискретизации. Гладкая линия между редкими точками не восстанавливает пропущенные экстремумы.
Период 30^\circ для данного нагруженного режима связан с симметрией машины и синхронным изменением токов, но не принимается только из числа пазов. Проверочная серия охватывает полный электрический период 180 механических градусов со сдвигом относительно поисковой сетки. Если короткий период не подтверждается, все критерии нужно пересчитать по корректному периоду; нельзя сохранять прежний фронт как доказанный.
Сетку углов и пространственную сетку уточняют раздельно. Удвоение числа углов меняет интегрирование и поиск экстремумов; уменьшение размера конечных элементов меняет решение поля в каждом положении. Одновременное изменение обоих факторов скрывает источник расхождения.
\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}\exp\!\left(\frac{2\pi\mathrm i mk}{N}\right)=\begin{cases}1,&m\text{ кратно }N,\\0,&m\text{ не кратно }N.\end{cases}
При точных значениях одной непрерывной функции дискретная выборка не может превысить её истинный размах. Для FEMM дополнительно действует пространственная погрешность; неравенство не сравнивает две произвольно меняющиеся сетки.
Фактический поиск и ограничения машинного практикума
Для каждого кандидата программа заново строит геометрию, определяет ось по холостому ходу, выполняет угловую серию при токе 10 А и возвращает средний момент, абсолютный размах и объём магнитов. Начальный план состоит из 16 сочетаний дуги и толщины. После оценки компромисса вокруг него добавляется до восьми новых соседей с шагами 4^\circ и 0,75 мм; повторы и точки за границами обрабатываются явно.
Допустимость требует T ср ≥ 8 Н·м и B контр ≤ 1,95 Тл. Контрольная индукция определяется в 60 внутренних точках стали: пять радиусов и 12 направлений через середины зубцов. Это выборочная метрика для сравнения. Она не подтверждает максимум индукции во всей стали и не доказывает отсутствие насыщения у кромок пазов.
Продольная компонента поля в магнитах может сохраняться как диагностика. Без температурной характеристики и необратимой границы размагничивания она не является проверкой стойкости магнитов. Большие пульсации открытой пазовой модели являются реальным результатом выбранной конструкции; найденный компромисс не объявляется промышленно хорошей машиной. Улучшение определяется только относительно этой постановки.
Все критерии приведены к минимизации. Два ограничения безразмерны; отрицательный знак первого критерия означает стремление увеличить средний момент.
Разобранный численный пример
Объём магнитов и пропущенные пульсации
Дано. Четыре магнита: наружный радиус 57 мм, толщина 7 мм, полная дуга каждого 72^\circ, длина 80 мм. Независимый аналитический пример момента: T(\theta ) = 10 + 2 \cos (8\pi \theta /\Theta ) Н·м на периоде \Theta = 30^\circ.
Внутренний радиус магнита 50 мм; дуга 72^\circ = 0{,}4\pi рад. Площадь одного сектора равна 0{,}2\pi \cdot (57^{2} - 50^{2}) = 149{,}8\pi мм².
Объём четырёх магнитов равен 4\cdot 80\cdot 149{,}8\pi = 150595{,}385 мм³ = 150,595 см³.
Точное среднее аналитического момента равно 10 Н·м, размах — 4 Н·м. Четыре равноотстоящие точки \theta k = k\Theta /4 дают \cos (2\pi k) = 1: ошибочное среднее 12 Н·м и нулевой размах.
Двенадцать точек дают среднее 10 Н·м, но размах только 3 Н·м. При 24 точках обе крайние величины 8 и 12 Н·м попадают в выборку, и размах восстанавливается.
Ответ: Объём магнитов 150,595 см³. На аналитической волне редкая сетка может скрыть пульсации даже при правильном либо правдоподобном среднем; необходимы отдельные угловые проверки.
Проверка: Угол в формуле площади — в радианах. Аналитическая волна специально задана для изучения дискретизации и не выдаётся за момент учебной FEMM-машины.
16 конструкций; 12 углов на 30^\circ; до восьми соседей
Программа
downloads/optimization/machine/run.py
Скачайте файлы исследования машины, сохранив структуру подпапок, и откройте run.py через File → Run Script FEMM 5. До запуска проверьте параметры материалов, токов, длины и диапазонов. Не используйте внешний управляющий Python.
Опубликованный JSON сохраняет phase_offset_deg, но не исходную тройку потокосцеплений холостого хода. Для самостоятельной проверки откройте сохранённую модель при \theta = 0 из native-models.json, например models/компромисс-основная.fem, и сначала сохраните рабочую копию командой mi_saveas в новой папке. Задайте три нулевых тока: mi_modifycircprop("Фаза A", 1, 0), mi_modifycircprop("Фаза B", 1, 0), mi_modifycircprop("Фаза C", 1, 0). Выполните mi_analyze(1), затем mi_loadsolution(); прочитайте \Psi A, \Psi B, \Psi C как третий элемент mo_getcircuitproperties для каждой цепи: индекс [2]. Вычислите \Psi \alpha = (2/3)(\Psi A - \Psi B/2 - \Psi C/2), \Psi \beta = (√3/3)(\Psi B - \Psi C) и \delta _{0} = atan2(Ψβ, Ψα), сохраняя этот порядок аргументов. Переведите угол из радиан в градусы и сравните с phase_offset_deg при той же геометрии и сетке. Нагруженные потокосцепления torque_series для этого опыта не подходят; эталонные модели и данные не перезаписывайте.
Для двух разных положений убедитесь, что токи действительно обновляются по \gamma = p\theta + \delta _{0} + 90^\circ. Сверьте амплитудную нормировку и знак момента.
Сопоставьте объём магнитов из JSON с выведенной геометрической формулой. Для одной конструкции вручную вычислите среднее и размах по сохранённым угловым значениям.
Постройте карту всех фактических геометрий с допустимостью, T ср, \Delta T и V м. Не считайте область между точками уже рассчитанной.
Сохраните файлы machine-optimization-result.json, machine-evaluations.csv и machine-verification.csv. Перейдите к следующему занятию для выбора Парето и компромисса.
Повторите обработку с удвоенным числом угловых точек и со сдвигом сетки на половину шага. Сопоставляйте аналитическую иллюстрацию наложения гармоник с отдельной таблицей результатов полевого расчёта.
Ожидаемый результат. Параметризованное семейство FEMM 5, поля для заданных положений ротора и три прослеживаемых критерия для каждого кандидата.
Как проверить. Режим токов сопоставим между геометриями; объём вычислен в правильных единицах; период и экстремумы не объявлены проверенными только по 12 поисковым точкам.
Обработка и анализ результатов
Как дуга и толщина магнитов меняют средний момент и пульсации?
Сведите размеры магнитов, средний момент, размах и ограничения каждой угловой серии.
Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
С чем сравнить. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Итог работы. Карта критериев с проверенным сравнением базовой и выбранной геометрий.
Проверка аналитического эталона во встроенном Python
Программа выполняется встроенным Python FEMM 5 без внешних пакетов. Она проверяет только явно заданный аналитический пример; полевой практикум выполняется отдельно указанной программой.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Оптимизация геометрии машины с поверхностными постоянными магнитами.Среда: встроенный Python FEMM 5.Проверяется только авторский аналитический эталон, полевой решатель не вызывается.Полученные числа не являются квитанцией расчёта электромагнита или машины."""# Геометрию задаём в миллиметрах и градусах, затем переводим угол в радианы, объём — в см³.# Независимая аналитическая волна момента в Н·м показывает потерю экстремумов на редкой сетке углов.importmathp,length_mm,radius_mm,thickness_mm,arc_deg=2,80.0,57.0,7.0,72.0arc_rad=arc_deg*math.pi/180volume_cm3=p*length_mm*arc_rad*(radius_mm**2-(radius_mm-thickness_mm)**2)/1000print("Объем всех магнитов, см³:",volume_cm3)forcountin(4,12,24):torque=[10+2*math.cos(8*math.pi*k/count)forkinrange(count)]print("Число углов:",count,"Среднее, Н·м:",sum(torque)/count,"Размах, Н·м:",max(torque)-min(torque))
Выполненные полевые расчёты и программы FEMM 5
Данные ниже получены в установленном FEMM 5. Интерактивный разбор использует сохранённые результаты; для нового поиска скачайте программу и необходимые данные, сохранив имена файлов и подпапок, и запустите run.py во встроенном Python FEMM 5. reproduce.py или verify_models.py выполняет отдельный контроль сохранённых моделей.
Синхронная машина с поверхностными магнитами
В основной серии выполнено полевых решений: 523. Вариант, выбранный по заданным правилам: a64.0-t9.5.
Выполните машинную серию и подготовьте для трёх геометрий чертёж, полевую угловую характеристику, ручной расчёт объёма и таблицу критериев. Покажите, что один и тот же принцип задания токов сохранён во всех случаях.
Критерий выполнения: Каждый критерий прослеживается до модели и исходных угловых значений; токи имеют указанную нормировку; среднее и размах различены; границы физической достоверности описаны без приписывания нерассчитанных потерь и размагничивания.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[33] — Редакция от 1 октября 2026 г.; магнитные задачи и команды mi_/mo_
[61] — Метод скользящего слоя; угловая дискретизация и расчёт момента
[68] — Взвешенный тензор напряжений; выбор тела, окружение воздухом и сеточная погрешность
[57] — Дорогие полевые вычисления, влияние перестроения сетки и случайный поиск; внешний интерфейс исходного примера в курсе не используется
Пояснения и типичные ошибкиПочему нельзя сравнивать геометрии только по моменту в одном угловом положении?
Одиночное положение может оказаться в максимуме или минимуме пульсаций. Требуемая характеристика — средний момент при согласованном токовом режиме, а также отдельный показатель пульсаций.
Доказывает ли ток по оси q максимальный момент на ампер?
Нет. В насыщенной машине параметры зависят от режима, и возможен иной оптимальный угол. В данном практикуме угол задаёт единообразный режим, а поиск MTPA не выполняется.
Какие ограничения нельзя считать проверенными по этой модели?
Стойкость к необратимому размагничиванию, температура, прочность, потери при вращении, полный КПД и торцевые эффекты. Их параметры и соответствующие физические модели здесь не заданы.
На что обратить внимание
Двенадцать угловых положений не являются двенадцатью временными шагами нестационарного решателя.
Нельзя подставлять градусы в формулу площади кольцевого сектора без перевода в радианы.
Выборочная индукция в 60 точках не является максимумом во всём магнитопроводе.
Изменение толщины магнитов при фиксированном наружном радиусе меняет стальную спинку; это должно быть учтено при объяснении результата.