Цель. Выбрать шаг обмотки с учётом основной и высших пространственных гармоник; определить зависимость момента от взаимного положения МДС и проверить её энергетическим методом и аналитическим расчётом.
Связь с проектированием. Обосновать уменьшение пятой гармоники при допустимой потере основной ЭДС; установить влияние зазора на передаваемый момент.
Задачи
Вычислить kw1, kw3, kw5, kw7 при шагах 9 и 8 пазов.
Сопоставить ЭДС по B_{1} и поΨ(\theta), оценить спектр.
Получить T(\delta ), проверить производную коэнергии и уменьшение зазора.
Исходные данные и условия опыта
Обмотка: Q=36, p=2, q=3, 12 эффективных витков пробной фазы; полный шаг 9 пазов, укороченный 8 пазов. Линейное кольцо r=90–100 мм, глубина 100 мм.
Опыт момента: третья пространственная гармоника, по 0.8 Тл от каждого токового слоя на среднем радиусе. Зазор 10 или 8 мм. Сердечники идеальные; токи заданы, частота модели нулевая.
Теория расчётного метода
Распределение обмотки и гармоники
Поле каждой стороны катушки сдвинуто в пространстве. В линейном кольце одинаковая геометрия сторон дает одинаковый радиальный передаточный множитель, поэтому отношение гармоник распределенной и сосредоточенной обмоток непосредственно равно обмоточному коэффициенту.
Сумма комплексных фазоров проводников учитывает одновременно распределение и укорочение шага. Для Q_{36}, p_{2}, q_{3} переход с шага 9 на 8 пазов уменьшает первую гармонику на 1.52%, но существенно подавляет пятую. Такой расчет помогает выбрать обмотку до детального моделирования зубцов.
Радиальная индукция определяется угловой производной A_z. Потокосцепление пробной обмотки равно сумме A_z в её сторонах, умноженной на активную длину и знаковое число витков; произвольная постоянная A_z сокращается.
В кольцевой линейной модели вращение источника эквивалентно сдвигу пространственного распределения A_z. Полный угловой рядΨ дает спектр ЭДС. Две проекции подходят только для чистой основной гармоники; высшие гармоники определяются по полному ряду.
h — механический пространственный порядок; основная h=p=2, электрическая гармоника \nu =h/p. Пробная обмотка находится на r_{95} мм; все величины определены для заданного учебного тока.
На круговом контуре в однородном воздухе касательная составляющая напряжения Максвелла равна BrBt/\mu _{0}. Одновременно производная коэнергии при фиксированных токах дает тот же момент. Электрический угол токовой волны в p раз больше механического.
Для каждого радиального слоя с постоянной гармоникой J задача допускает решение A_z =a r^p+b r^-p+μ0Jr²/(p^{2}-4). Непрерывность A_z и его производной и условияНеймана на обеих поверхностях дают независимую проверку FEM.
Когда кольцевой зазор можно развернуть в плоскость
В тонком зазоре радиальные коэффициенты уравнения A_z можно заменить их значениями на среднем радиусе. Пространственное волновое число становится k=p/R, а один период плоской ячейки равен 2\pi R/p. Боковые границы ячейки периодические, поверхности сердечников имеют условия Неймана.
Такое приближение нужно оценивать по g/R и порядку гармоники. Два независимых аналитических решения и уточненные нативные модели показывают здесь эффект кривизны около 0.32% при g=10 мм и 0.19% при g=8 мм; численная разница дополнительно содержит остаточную погрешность поля.
Исходная задача задаётся характеристикой устройства: напряжением, моментом, силой, потерями либо параметром схемы замещения. Поле является промежуточным результатом. Сначала выбирают контрольную величину и нормировку, затем физическую область, источник и граничные условия; только после этого — геометрию и сетку.
Один и тот же рисунок поля может соответствовать разным активным длинам и числам витков. Поэтому каждое сравнение сопровождается единицами, направлением обхода и указанием, являются ли ток и напряжение амплитудными, действующими либо мгновенными. Простой аналитический предел проверяет масштаб результата до расчёта сложного устройства.
Разность A_z даёт поток на единицу активной длины. После умножения на фактическую длину получают веберы. Потокосцепление реальной обмотки определяется суммой вкладов всех её сторон с их знаками и числами витков; одна контрольная линия потока не заменяет эту сумму при рассеянии.
Сначала выполняют независимое возбуждение цепей. В линейной системе полученные столбцы образуют матрицу индуктивностей. Взаимность проверяет согласованность ориентации сторон и численного извлечения; положительность энергии проверяет физическую допустимость матрицы. При насыщении разделяют секущую и дифференциальную индуктивности.
В свободном от токов линейном зазоре потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Представление по пространственным гармоникам превращает двумерную задачу в независимые уравнения для каждого порядка. В плоском зазоре появляются экспоненты или гиперболические функции, в кольцевом — степени радиуса.
Коэффициенты определяются по тем же источникам и граничным условиям, что и в конечных элементах. Нулевая гармоника рассматривается отдельно. Плоское приближение проверяют относительно кольцевого при фактическом отношении зазора к радиусу; совпадение на одном радиусе не гарантирует совпадения энергии и момента.
A_k(x,y)=(c_ke^{ky}+d_ke^{-ky})e^{jkx}
Плоская гармоника при k\ne 0; реальные поля получают действительной частью.
A_\nu(r,\theta)=(a_\nu r^\nu+b_\nu r^{-\nu})e^{j\nu\theta},\qquad A_0=a_0+b_0\ln r
Кольцевой линейный зазор; коэффициенты следуют из заданных условий на двух радиусах.
Обмоточная функция и восстановление ЭДС двумя способами
Пространственная гармоника поля и обмоточная функция совместно определяют потокосцепление. Знаки, число витков и шаг катушек берутся из фактической обмоточной таблицы. Для распределённой обмотки основной коэффициент показывает одновременно снижение основной ЭДС и подавление выбранных высших гармоник.
Первый путь вычисления ЭДС использует основную гармонику B и эффективное число витков. Второй непосредственно обрабатывает потокосцепление реальной обмотки. Для искажённого профиля требуется полный угловой ряд; две проекции восстанавливают лишь предполагаемый синусоидальный вектор. Сравнение двух путей отделяет ошибку описания обмотки от ошибки извлечения поля.
Сила на заданном токе вычисляется объёмным интегралом J\times B. Для тела с намагниченным материалом удобен интеграл магнитных напряжений по окружающему воздуху. Производная коэнергии при фиксированном токе даёт третий способ, использующий соседние положения геометрии.
Каждый способ имеет собственный численный контроль: разрешение проводящей области, сетку и расположение воздушного контура либо шаг угловой/линейной производной. Расхождение методов сначала относят к этим контролям, а не к изменению свойств материала. Локальное напряжение у острого угла не является устойчивой характеристикой, тогда как суммарная сила может сходиться.
Знаки и положения сторон катушек задают пространственное распределение МДС, а число витков и глубина — масштаб потокосцепления. Нулевая сумма знаковых проводников обеспечивает независимость потокосцепления замкнутой обмотки от произвольной постоянной A_z. Общая нормировка ампер-витков позволяет далее связать изменение гармоник именно со схемой обмотки и её шагом.
Зафиксируйте число пазов, пар полюсов, знаковые веса сторон, глубину и границы кольца.
Проверьте нулевую сумму знаковых проводников, одинаковые полные ампер-витки и нормировку ряда Фурье.
Записать в протокол.Q, p, q, шаг, сумма проводников, единицы J и B
В линейном кольце передача каждой пространственной гармоники одинакова для сравниваемых обмоток с одной геометрией сторон, поэтому отношение соответствующих гармоник поля определяет обмоточный коэффициент. Независимая фазорная сумма проверяет знаки, шаг и нормировку полевого результата. По коэффициентам основной и высших гармоник выбирают укорочение шага с учётом требуемой ЭДС и допустимого гармонического состава.
Запустите winding/reproduce.py в отдельной рабочей папке с common.py.
Сопоставьте native отношения гармоник с фазорной суммой для каждого шага.
Записать в протокол. kw1, kw3, kw5, kw7; относительные различия
Потокосцепление пробной обмотки учитывает поле во всех её знаковых сторонах; его изменение при вращении задаёт ЭДС по закону Фарадея. Сравнение основной ЭДС из полного углового ряда \Psi с оценкой по B_{1} проверяет переход от поля к напряжению, а спектр показывает усиление роли высших гармоник при дифференцировании. Полученные RMS и THD характеризуют заданную пробную обмотку в принятой полосе спектра и уточняют выбор её шага.
Запустите winding_flux.py после расчета концентрированного источника.
Сравните E_{1} изΨ и E_{1} из B_{1}; затем сравните RMS и THD по полной полосе.
Записать в протокол.E_{1}, RMSband1..48, THD; область применимости точечной пробной обмотки
Взаимное положение двух МДС меняет касательные напряжения в зазоре и коэнергию системы, поэтому момент можно получить двумя независимыми способами. Производную берут при постоянных токах и переводят электрический угол в механический; аналитическое решение и уточнение сетки проверяют масштаб и знак момента. Сравнение зазоров при неизменных источниках показывает, как выбранный зазор влияет на передаваемый момент в этой линейной модели.
Сравните точки 0..180 эл.градусов; вычислите производную по 89/91^\circ.
Сопоставьте результат с аналитическим решением и более мелкой моделью.
Сравните одинаковые источники при зазорах 10 и 8 мм.
Запустите ring_profiles.py; сравните B_{\mathrm{r\,}}{3}(r) и Bt₃(r) от каждого токового слоя в интервале 91–99 мм. Объясните, почему гармоники слоёв ослабевают по радиусу по-разному и как это влияет на взаимный момент.
Записать в протокол.T_{90}, Tenergy, Tanalytic; изменение при уменьшении зазора
Плоская модель заменяет криволинейный зазор периодической полосой, сохраняя согласованные источники и размеры слоёв. Сопоставление двух геометрий с их собственными аналитическими решениями разделяет погрешность такого приближения и ошибку конечных элементов. Зависимость различия от отношения зазора к радиусу позволяет решить, достаточно ли плоской модели для требуемой точности момента.
В папке ring/planar запустите planar_ring.py, planar_precision.py и ring_precision.py с общим входом ring-source.json.
Сопоставьте плоский периодический зазор и кольцо при одинаковых токах и толщинах слоев для зазоров 10 и 8 мм.
Сравните численную разницу с независимыми аналитическими решениями; отделите влияние кривизны от погрешности сетки.
Записать в протокол.g/R, Tплоский, Tкольцо, аналитические значения, ошибка приближения и сетки
Фазорная сумма дает kw1=0,9452; native отношение полей дает 0,9452.
При полном шаге E1изΨ=0,06443 В, а по B_{1}=0.06444210 В.
На базовой сетке взаимодействие двух волн при 90эл.градусах дает T=-452.9041 Н·м; производная коэнергии дает -452,9 Н·м.
Шаг 8 пазов сохраняет около 98.5%основной ЭДС полного шага и уменьшает вклад пятой гармоники; энергетическая проверка подтверждает момент.
Обмоточные коэффициенты на уточненной сетке
Шаг
Гармоника
По полю FEM
Фазорная сумма
полный-шаг
1
0,9597
0,9598
полный-шаг
3
0,6667
0,6667
полный-шаг
5
0,2171
0,2176
полный-шаг
7
0,1777
0,1774
укороченный-шаг
1
0,9452
0,9452
укороченный-шаг
3
0,5772
0,5774
укороченный-шаг
5
0,139
0,1398
укороченный-шаг
7
0,06134
0,06066
Материалы и геометрия сторон одинаковы; нормировка выполняется на ту же гармонику сосредоточенного источника.
Кривизна и численная погрешность
Зазор, мм
g/R
Tкольцо FEM, Н·м
Tплоск FEM, Н·м
Точный эффект кривизны, %
10
0,1053
-454,2
-455,4
0,3204
8
0,08333
-590,2
-591,9
0,1922
Независимые точные решения отделяют эффект кривизны от остаточной погрешности обеих нативных моделей.
Количественные результаты и их проверка
Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.
Величина
Единица
Что определяет
kw1, kw3, kw5, kw7
1
Выбор шага по основной ЭДС и высшим гармоникам
E_{1}, RMS, THD
В; %
Основная и полная ЭДС пробной обмотки
T(\delta ), Tэнергии
Н·м
Передаваемый момент и независимая энергетическая проверка
Ошибка плоского приближения
%
Допустимость замены кольца периодическим плоским зазором
Ошибка kw≤0.002 абс. для гармоник 1,3,5,7.
Основная ЭДС по A_z и B_{1} различается менее 0.03%.
Момент по производной коэнергии отличается от напряжений менее 0.1%; уточнение и аналитика менее 1%.
Итоговый вывод. Укороченный шаг: kw1=0.945179, kw5=0.138982; кольцо на базовой сетке: T_{90}=-452.904 Н·м; аналитическое значение -454.431 Н·м.
Границы применения результата
Идеальные сердечники представлены естественными условиямиНеймана; насыщение и зубцы здесь исключены.
Калиброванные токовые слои служат сравнению поля и момента; допустимая плотность тока и нагрев реальной обмотки не определяются.
ЭДС приведена для точечных сторон пробной обмотки и заданного учебного тока.
Литература
Обмоточные коэффициенты как средство выбора схемы и шага обмотки. — 8 с.
Гармоники МДС, затухание поля и момент в кольцевом зазоре. — 14 с.
Иванов-Смоленский А. В., Гончаров В. И., Тейн Наинг Тун. Применение конечно-элементных моделей при учебном проектировании синхронных машин. — 14 с.
Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Метод разделения переменных. Поле в плоском и кольцевом зазоре. Поверхностный ток как источник поверхностного потенциала. Раздел 8. — 33 с.
Введение. — 13 с.
Простейшая электрическая машина. Раздел 1. — 30 с.
Рымша В. В., Процына З. П., Якимец А. М. Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом : методические указания. — Одесса : ОНПУ, 2010. — 48 с.
Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.
Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Общие положения. Раздел 7. — 19 с.
Электромагнитный момент и силы тяжения. Раздел 6. — 6 с.
Электромагнитные силы в магнитном поле. Раздел 12. — 15 с.
Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].
