# Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре

Цель: Выбрать шаг обмотки по основной и высшим гармоникам; получить зависимость момента от взаимного положения МДС и подтвердить её по энергии и аналитическому решению.

## Распределение обмотки и гармоники

Поле каждой стороны катушки сдвинуто в пространстве. В линейном кольце одинаковая геометрия сторон дает одинаковый радиальный передаточный множитель, поэтому отношение гармоник распределенной и сосредоточенной обмоток непосредственно равно обмоточному коэффициенту.

Сумма комплексных фазоров проводников учитывает одновременно распределение и укорочение шага. Для Q36,p2,q3 переход с шага 9 на 8 пазов уменьшает первую гармонику на 1.52%, но существенно подавляет пятую. Такой расчет помогает выбрать обмотку до детального моделирования зубцов.

$$k_{w\nu}=\frac{|\sum_j n_j e^{i\nu p\theta_j}|}{\sum_j|n_j|}$$

n_j — знаковое число проводников стороны; коэффициент нормирован на те же полные ампер-витки.

## От поля к ЭДС

Радиальная индукция определяется угловой производной Az. Потокосцепление пробной обмотки равно сумме Az в её сторонах, умноженной на активную длину и знаковое число витков; произвольная постоянная Az сокращается.

В кольцевой линейной модели вращение источника эквивалентно сдвигу пространственного распределения Az. Полный угловой рядΨ дает спектр ЭДС. Две проекции подходят только для чистой основной гармоники; высшие гармоники определяются по полному ряду.

$$\Psi(\theta)=l\sum_jn_jA_z(r,\theta_j-\theta),\quad E_{h,\mathrm{rms}}=h\omega_m\Psi_{h,m}/\sqrt2$$

h — механический пространственный порядок; основная h=p=2, электрическая гармоника ν=h/p. Пробная обмотка находится на r95 мм; все величины определены для заданного учебного тока.

## Момент взаимодействия МДС

На круговом контуре в однородном воздухе касательная составляющая напряжения Максвелла равна BrBt/μ0. Одновременно производная коэнергии при фиксированных токах дает тот же момент. Электрический угол токовой волны в p раз больше механического.

Для каждого радиального слоя с постоянной гармоникой J задача допускает решение Az=a r^p+b r^−p+μ0Jr²/(p²−4). Непрерывность Az и его производной и условияНеймана на обеих поверхностях дают независимую проверку FEM.

$$T=\frac{lr^2}{\mu_0}\int_0^{2\pi}B_rB_t\,d\theta=p\frac{\partial W^\prime}{\partial\delta_e}$$

Положительный знак соответствует положительному механическому повороту; в этой серии токовая волна создает отрицательный момент.

## Когда кольцевой зазор можно развернуть в плоскость

В тонком зазоре радиальные коэффициенты уравнения Az можно заменить их значениями на среднем радиусе. Пространственное волновое число становится k=p/R, а один период плоской ячейки равен 2πR/p. Боковые границы ячейки периодические, поверхности сердечников имеют условия Неймана.

Такое приближение нужно оценивать по g/R и порядку гармоники. Два независимых аналитических решения и уточненные нативные модели показывают здесь эффект кривизны около 0.32% при g=10 мм и 0.19% при g=8 мм; численная разница дополнительно содержит остаточную погрешность поля.

$$\frac{d^2A_z}{dx^2}-\left(\frac pR\right)^2A_z=-\mu_0J_z,\qquad T_{eq}=pR F_y$$

Fy рассчитана для одного пространственного периода; p периодов составляют полную окружность.

## 1. Паспорт токового опыта

- Зафиксируйте число пазов, пар полюсов, знаковые веса сторон, глубину и границы кольца.
- Проверьте нулевую сумму знаковых проводников, одинаковые полные ампер-витки и нормировку ряда Фурье.

Записать: Q, p, q, шаг, сумма проводников, единицы J и B.

## 2. Обмоточные коэффициенты

- Запустите winding/reproduce.py в отдельной рабочей папке с common.py.
- Сопоставьте native отношения гармоник с фазорной суммой для каждого шага.

Записать: kw1,kw3,kw5,kw7; относительные различия.

## 3. ЭДС пробной обмотки

- Запустите winding_flux.py после расчета концентрированного источника.
- Сравните E1 изΨ и E1 из B1; затем сравните RMS и THD по полной полосе.

Записать: E1,RMSband1..48,THD; область применимости точечной пробной обмотки.

## 4. Момент и зазор

- Сравните точки 0..180 эл.градусов; вычислите производную по 89/91°.
- Сопоставьте результат с аналитическим решением и более мелкой моделью.
- Сравните одинаковые источники при зазорах 10 и 8 мм.

Записать: T90,Tenergy,Tanalytic; изменение при уменьшении зазора.

## 5. Плоское приближение и кривизна

- В папке ring/planar запустите planar_ring.py, planar_precision.py и ring_precision.py с общим входом ring-source.json.
- Сопоставьте плоский периодический зазор и кольцо при одинаковых токах и толщинах слоев для зазоров 10 и 8 мм.
- Сравните численную разницу с независимыми аналитическими решениями; отделите влияние кривизны от погрешности сетки.

Записать: g/R, Tплоский, Tкольцо, аналитические значения, ошибка приближения и сетки.

## Результат

Укороченный шаг:kw1=0.945179,kw5=0.138982; кольцо:T90=-452.904 Н·м, аналитика-454.431 Н·м.

## Применимость

- Идеальные сердечники представлены естественными условиямиНеймана; насыщение и зубцы здесь исключены.
- Калиброванные токовые слои служат сравнению поля и момента; допустимая плотность тока и нагрев реальной обмотки не определяются.
- ЭДС приведена для точечных сторон пробной обмотки и заданного учебного тока.