Лабораторная работа

Определение коэффициентов поля явнополюсной машины

Цель. При индукции B на оси полюса 0.85 Тл определить коэффициенты kf, kPhi, alpha_delta, kd, kq и оценить увеличение требуемой МДС статора вследствие насыщения.

Связь с проектированием. Оценить форму полюсного поля и различие реакций по d/q для последующего расчета синхронного генератора.

Задачи

Откалибровать ток возбуждения по осевой индукции.
Интегрировать полный и основной полюсный потоки.
Сравнить d/q с гладким эталоном при одинаковой первой гармонике МДС.
Разложить МДС на зазор, зубцы иярмо.

Исходные данные и условия опыта

Четыре явных полюса: радиус ротора 60 мм, расточки статора 63 мм, глубина 100 мм. Первичный эталон линейный, \mu _{r}=10000; гладкий ротор для нормировки имеет минимальный зазор 3 мм.

Нелинейный вариант: 36 пазов статора, B(H) M-43 только в статоре. Ротор остается линейным. B_r измеряется на r=61.5 мм; ток возбуждения подбирается для осевой индукции 0.85 Тл.

Теория расчётного метода

Коэффициенты формы полюсного поля

Осевая индукция и амплитуда первой гармоники различаются: поле у краев полюса и межполюсная область влияют наполный поток. Поэтому коэффициент формы может быть больше единицы.

В авторских определениях kf=B_{\delta}1m/Bδaxis, kPhi=Φpole/Φ1pole, alpha_delta=Bavgpole/Bδaxis. При интегрировании берется одна полюсная дуга−45..45 механических градусов и одна и та же окружность r_{61}.5 мм.

k_f=\frac{B_{\delta1m}}{B_{\delta,axis}},\quad k_\Phi=\frac{\Phi_{pole}}{2rlB_{\delta1m}/p},\quad\alpha_\delta=\frac{\Phi_{pole}}{(\pi/p)rlB_{\delta,axis}}

Полный поток вычисляется из B_r, а основной из первой пространственной гармоники.

Литература по методу: Коэффициенты поля возбуждения явнополюсного генератора · PDF 1–2: определения; 3–4: модели и насыщение; 5: варианты исходных данных

Продольная и поперечная реакция

Одна и та же синусоидальная МДС якоря направляется пооси d или q. Межполюсный путь имеет меньшую магнитную проводимость, поэтому первая гармоника реакции q обычно меньше.

Нормировка kd и kq выполняется на гладкий ротор с минимальным зазором 3 мм при той же амплитуде МДС. Это именно коэффициенты авторского опыта, а индуктивности L_d/L_q дополнительно учитывают конкретную нормировку обмотки и потоки рассеяния.

k_d=B_{d1m}/B_{smooth,1m},\qquad k_q=B_{q1m}/B_{smooth,1m}

Нелинейность исключена из эталонного определения; значение \mu _{r}=10000 проверяется удвоением проницаемости.

Литература по методу: Продольная и поперечная проводимости явнополюсной машины · PDF 1–2: определения; 3–4: картины d/q; 5: методика; 6: варианты

МДС и насыщение статора

В пазовом варианте только статор имеет B(H)M-43; ротор остается линейным. Интеграл Hdl по замкнутому пути разделен назазор, зубцы иярмо.

При увеличении возбуждения нелинейное сопротивление ярма возрастает и доля падения МДС взазоре уменьшается. Коэффициент kz характеризует выбранный магнитный путь и данный статор, а не универсальную поправку для любых геометрий.

k_z=\frac{F_\delta+F_z+F_a}{F_\delta},\qquad F=\int\mathbf H\cdot d\mathbf l

Путь проходит по осям соседних полюсов через зазор, зубцы и ярмо r_{84} мм.

Разделение переменных и эталон гладкого зазора

В свободном от токов линейном зазоре потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Представление по пространственным гармоникам превращает двумерную задачу в независимые уравнения для каждого порядка. В плоском зазоре появляются экспоненты или гиперболические функции, в кольцевом — степени радиуса.

Коэффициенты определяются по тем же источникам и граничным условиям, что и в конечных элементах. Нулевая гармоника рассматривается отдельно. Плоское приближение проверяют относительно кольцевого при фактическом отношении зазора к радиусу; совпадение на одном радиусе не гарантирует совпадения энергии и момента.

A_k(x,y)=(c_ke^{ky}+d_ke^{-ky})e^{jkx}

Плоская гармоника при k\ne 0; реальные поля получают действительной частью.

A_\nu(r,\theta)=(a_\nu r^\nu+b_\nu r^{-\nu})e^{j\nu\theta},\qquad A_0=a_0+b_0\ln r

Кольцевой линейный зазор; коэффициенты следуют из заданных условий на двух радиусах.

Литература по методу: Аналитические методы: назначение эталонов и допущения · PDF1–19; Разделение переменных: поле плоского и кольцевого зазора · PDF1–24

Чётное и нечётное поле: от зубцовой зоны к Картеру

В линейной зубцовой зоне удобно разделить возбуждение поперечным потоком и собственным током паза. Они имеют различную симметрию и различные контрольные величины. Суперпозиция проверяется на поле и на потоке; энергия общего поля включает взаимный член.

Эффективный зазор определяется по интегральному потоку или энергии при явно фиксированной МДС либо фиксированном потоке. Коэффициент Картера связывает реальную зубцовую область с гладкой моделью. Он не служит множителем для любого локального пика B. Конечная проницаемость, ширина раскрытия и сетка варьируются раздельно.

\mathbf B=\mathbf B_{\rm even}+\mathbf B_{\rm odd},\qquad k_C=\delta_{\rm eff}/\delta

Разложение использует одну линейную геометрию и согласованные возбуждения.

\delta_{\rm eff}=\frac{2\mu_0 W}{B_{\rm av}^2\tau l_z}

Энергетическое определение для выбранного зубцового деления при фиксированном среднем потоке в воздушной области.

Литература по методу: Зубчатость зазора, Картер и зубцовые контуры · PDF1–20,34–54; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF21–31

От потенциала к потоку и реальной обмотке

Разность A_z даёт поток на единицу активной длины. После умножения на фактическую длину получают веберы. Потокосцепление реальной обмотки определяется суммой вкладов всех её сторон с их знаками и числами витков; одна контрольная линия потока не заменяет эту сумму при рассеянии.

Сначала выполняют независимое возбуждение цепей. В линейной системе полученные столбцы образуют матрицу индуктивностей. Взаимность проверяет согласованность ориентации сторон и численного извлечения; положительность энергии проверяет физическую допустимость матрицы. При насыщении разделяют секущую и дифференциальную индуктивности.

\Phi=l_z\Delta A_z,\qquad \Psi_k=l_z\sum_jN_{kj}\langle A_z\rangle_{S_j}

Знаки разностей и N согласованы с нормалями и направлениями обмотки; усреднение соответствует распределённой стороне катушки.

\boldsymbol\Psi=\mathbf L\mathbf i,\quad L_{kj}\simeq L_{jk},\quad L_{\rm sec}=\Psi/i,\quad L_{\rm diff}=\partial\Psi/\partial i

Матрица постоянна только для линейного материала при фиксированной геометрии.

Литература по методу: Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF24–31; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF9–11; Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова) · PDF1–20

Энергия, коэнергия и выбор независимой переменной

Электрическая работа при неподвижной геометрии равна интегралу тока по изменению потокосцепления. Если независимой переменной выбран ток, удобнее коэнергия — площадь под зависимостью \Psi (i). Сумма двух площадей равна i\Psi. Это равенство остаётся полезной проверкой при нелинейной, однозначной кривой намагничивания.

Равенство W=W'=i\Psi /2 требует линейности и отсутствия независимого возбуждения в рассматриваемой однопортовой задаче. Для нескольких обмоток энергетическое тождество содержит сумму токов на потокосцепления всех независимых портов. При постоянном возбуждении генератора динамический баланс использует отдельно энергию переменных токов по формуле блока d/q и мощность преобразования. Для насыщенной стали интегрируют фактическую характеристику. Сила определяется частной производной при фиксированных токах, а не производной вдоль нагруженной траектории с меняющимся током.

W=\int_0^\Psi i(\psi)\,d\psi,\quad W^\prime=\int_0^i\Psi(j)\,dj,\quad W+W^\prime=i\Psi

Однозначная квазистатическая характеристика без отдельного гистерезисного цикла.

F_x=\left.\frac{\partial W^\prime}{\partial x}\right|_{\mathbf i},\qquad T=\left.\frac{\partial W^\prime}{\partial\theta_m}\right|_{\mathbf i}

Угол \theta m выражается в радианах; положительное направление координаты задано в модели.

Литература по методу: Энергия магнитного поля через векторный потенциал · PDF1–9,19–30; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF130–146,184–189

Модели для работы

Коэффициенты поля и продольной/поперечной реакции

Четыре явных полюса; радиус ротора 60 мм; радиус статора 63 мм; длина 100 мм. Гладкий линейный эталон и нелинейный статор M-43 с 36 пазами.

Полюса-Возбуждение.fem Полюса-Возбуждение.ans Полюса-Ось-q.fem Полюса-Ось-q.ans Полюса-Насыщение-2.fem Полюса-Насыщение-2.ans reproduce.py common.py result.json coefficients.json README.md Поле.png

Результаты расчёта

Величина	Результат	Единица
Коэффициент формы kf	1,2	1
Коэффициент потока kPhi	1,038	А
Коэффициент полюсного перекрытия alpha_delta	0,793	1
Коэффициент оси d	0,9829	1
Коэффициент оси q	0,6549	1

Последовательное решение

1 · Протокол и расчетные условия

Полюсные коэффициенты являются отношениями величин, поэтому их смысл зависит от общего контура измерения, геометрии зазора и нормировки возбуждения. Отдельное описание линейного эталона и нелинейного статора задаёт условия последующих сравнений. Такой протокол позволяет отнести различия коэффициентов к форме полюсов или насыщению выбранного участка магнитопровода.

Зафиксируйте геометрию, глубину, число полюсов и нормировку токов.
Для каждого опыта укажите материал, частоту, измеряемый контур и физическую величину результата.

Записать в протокол. параметры модели, RMS/амплитуда, режим и допущения

Подробное выполнение: 24.5 · Оси d и q и отличие явнополюсной машины; 30.1 · Насыщение и таблицы потокосцеплений по продольной и поперечной осям генератора

2 · Поле возбуждения

Осевая индукция задаёт одну точку профиля, тогда как первая гармоника и полный полюсный поток характеризуют распределение поля на всём полюсном делении. Спектральное разложение и интегрирование одного ряда B_r дают величины для разных коэффициентов без смешения их определений. Они связывают форму полюса с основной ЭДС и полным потоком, которые нужны при выборе обмотки и сечений магнитопровода.

Запустите poles/reproduce.py.
По 512 точкам B_r вычислите первую гармонику; интегрируйте полюсный поток и проверьте определения коэффициентов.

Записать в протокол. Baxis, B_{1},Φpole, kf, kPhi, alpha_delta

3 · Реакция якоря

Одна и та же основная МДС якоря встречает разные магнитные проводимости вдоль полюса и между полюсами. Нормировка обеих реакций на общий гладкий эталон выделяет это различие в коэффициентах d и q. Уточнение токового слоя и проверка большой проницаемости показывают устойчивость коэффициентов перед их использованием в расчёте генератора.

Сравните гладкий ротор, d и q при 10 А амплитуды.
Проверьте изменения при 192 участках и \mu _{r20000}.

Записать в протокол. kd, kq, изменение B_{1}

4 · Насыщение

Интеграл Hdl по каждому участку показывает, какая часть необходимой МДС расходуется в зазоре, зубцах и ярме при данном уровне возбуждения. С ростом индукции нелинейная сталь требует дополнительной МДС, поэтому сравнение участков выявляет ограничивающее сечение статора. Результат указывает, где в следующем варианте конструкции следует рассматривать изменение сечения и как учитывать насыщение при выборе возбуждения.

Для трех уровней возбуждения интегрируйте Hdl по указанным участкам.
Объясните, какой участок определяет рост необходимой МДС.

Записать в протокол. F_{\delta}, Fz, Fa, kz

Контрольный расчёт и численные результаты

Осевая индукция 0.85 Тл; одна полюсная дуга от −45 до 45 механических градусов.

Основная гармоника B_{1}=1.02008125 Тл; kf=B_{1}/0.85=1.20009558.
Полный полюсный поток 0.00651122 Вб и основной 0.00627350 Вб дают kPhi=1,038.
Нормировка на гладкий эталон дает kd=0,9829, kq=0,6549.

Поперечная реакция имеет меньшую магнитную проводимость; при насыщении растет прежде всего требуемая МДС ярма.

Коэффициенты полюсного поля

Величина	Значение
Индукция на оси полюса, Тл	0,85
Основная гармоника B_{1}, Тл	1,02
kf	1,2
kPhi	1,038
alpha_delta	0,793
kd	0,9829
kq	0,6549

Все коэффициенты вычислены на одном контуре и при согласованной нормировке МДС.

Рост МДС при насыщении статора

Масштаб возбуждения	F_{\delta}, А·вит	Fзубцов, А·вит	Fярма, А·вит	kz
1	3280	4,228	788,5	1,242
2	4217	12,79	4011	1,954
3	4859	73,99	7438	2,546

Ротор линейный; рост требуемой МДС определяется прежде всего насыщением ярма статора.

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

Величина	Единица	Что определяет
Baxis, B_{1}	Тл	Форма поля под полюсом
kf, kPhi, alpha_delta	1	Переход от осевой индукции к основной гармонике и полюсному потоку
kd, kq	1	Различие продольной и поперечной реакции
F_{\delta}, Fz, Fa, kz	А·вит; 1	Необходимая МДС и вклад насыщения магнитной цепи

Уточнение основной гармоники менее 0.2%.
Удвоение большой проницаемости меняет основную гармонику менее 0.5%.
d/q нормируются наодинаковуюМДС и один гладкий эталон.

Итоговый вывод. kf=1.20010, kPhi=1.03789, alpha_delta=0.79296;kd=0.98292, kq=0.65486. kz возрастает от 1.242 до 2.546.

Границы применения результата

Учебная явнополюсная геометрия; не геометрия конкретной промышленной машины.
Нелинейность учитывается в статоре; 2D не включает торцевые потоки, потери стали и нагрев.

Литература

Коэффициенты поля возбуждения явнополюсного генератора. — 5 с.
Продольная и поперечная проводимости явнополюсной машины. — 6 с.
Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Общие положения. Раздел 7. — 19 с.
Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Метод разделения переменных. Поле в плоском и кольцевом зазоре. Поверхностный ток как источник поверхностного потенциала. Раздел 8. — 33 с.
Магнитное поле в зазоре электрической машины с учётом зубчатости сердечников. Раздел 11. — 54 с.
Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].
Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.
Выражение энергии магнитного поля через векторный магнитный потенциал. Раздел 4. — 30 с.