FEMM 5

Лабораторная работа

Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение

Цель. Определить зависимость момента M(\theta ), оценить точность представления постоянного магнита эквивалентными токовыми слоями и рассчитать угловое движение стрелки с проверкой энергетического баланса.

Связь с проектированием. Выбрать модель магнитного материала, разрешение токового слоя и временной шаг, достаточные для расчёта чувствительного магнитного механизма.

Задачи

  1. Построить независимый токовый интеграл силы и момента.
  2. Сравнить магнит и конечные токовые слои при двух возвратных проницаемостях.
  3. Отделить сеточную ошибку момента от ошибки эквивалентной модели.
  4. Интегрировать движение и проверить энергетический баланс и временной шаг.

Исходные данные и условия опыта

Прямоугольная стрелка 20×2 мм, глубина 2 мм; длинный провод 100 А расположен в 25 мм от оси. Условный Hc100кА/м, \mu _{rec_{1}} или 6,678.

Ток каждого эквивалентного слоя 2000 А; толщина 0{,}5/0{,}25/0{,}125 мм. Аналитическое сравнение для \mu _{rec_{1}} использует K=100кА/м.

Плотность 7500кг/м³ задаёт массу и инерцию. Рассматриваются отсутствие трения и вязкое сопротивление 10⁻⁷Н·м·с.

Теория расчётного метода

Уравнение поля, материалы и границы

В магнитоквазистатической постановке закон полного тока связывает поле с заданным током, а отсутствие магнитных зарядов требует непрерывности нормального магнитного потока. В плоской модели эти условия удобно выполнить через единственную составляющую векторного потенциала A_z. Скалярная магнитная проницаемость либо нелинейная зависимость H(B) замыкает систему.

На границе материалов сохраняется нормальная составляющая B; тангенциальная H непрерывна при отсутствии поверхностного свободного тока. Внешняя граница и симметрия являются физическими условиями задачи. Их изменение проверяется отдельно от уменьшения конечных элементов: сходимость внутри неверной области не устраняет ошибку постановки.

\nabla\times\mathbf H=\mathbf J,\quad \nabla\cdot\mathbf B=0,\quad \mathbf B=\nabla\times(A_z\mathbf e_z)
Статическая/квазистатическая система без существенного тока смещения.
\nabla\cdot(\nu\nabla A_z)=-J_z,\qquad B_x=\partial_y A_z,\quad B_y=-\partial_x A_z
Здесь \nu =1/\mu; производные берутся по координатам в метрах, если A_z задан в Вб/м.

Литература по методу: Уравнения Максвелла и материальные соотношения · PDF3–20; Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF1–12,24–31; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF1–11

Магнитная стрелка и амперовские токовые слои

Для модели с единичной относительной магнитной проницаемостью постоянную намагниченность можно заменить поверхностными токами. При конечной толщине слоя сохраняют полный ток каждого слоя, а не его плотность. Для материала с иной возвратной проницаемостью свойства внутренней области должны совпадать в обеих моделях.

Внешний длинный провод создаёт известное поле. Интегрирование силы по элементам слоя даёт аналитическую зависимость момента от угла. В численной модели используют нечётную по внешнему току часть момента: она выделяет взаимодействие со сторонним источником. Контрольная сетка уточняется также в окружающем воздухе, где вычисляются напряжения Максвелла.

B_{wire}=\frac{\mu_0I}{2\pi r},\qquad I_{layer}=K\ell,\qquad J_{layer}=K/t
K=H_c в принятой эквивалентной модели; геометрические размеры в формулах переведены в метры.
T_{cross}(\theta)=\frac{T(\theta,+I)-T(\theta,-I)}2
Нечётная часть выделяет взаимное действие источников в данной линейной по внешнему току модели.

Литература по методу: Моделирование опытов Эрстеда и Фарадея · PDF2–17; Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF13–28; Электромагнитный момент и силы тяжения · PDF1–6

Три способа вычисления силы и момента

Сила на заданном токе вычисляется объёмным интегралом J\times B. Для тела с намагниченным материалом удобен интеграл магнитных напряжений по окружающему воздуху. Производная коэнергии при фиксированном токе даёт третий способ, использующий соседние положения геометрии.

Каждый способ имеет собственный численный контроль: разрешение проводящей области, сетку и расположение воздушного контура либо шаг угловой/линейной производной. Расхождение методов сначала относят к этим контролям, а не к изменению свойств материала. Локальное напряжение у острого угла не является устойчивой характеристикой, тогда как суммарная сила может сходиться.

\mathbf F=\int_V\mathbf J\times\mathbf B\,dV,\qquad \mathbf T_M=\frac1{\mu_0}\left(\mathbf B\mathbf B-\tfrac12B^2\mathbf I\right)
Воздушная форма тензора используется на контуре, целиком проходящем в немагнитной среде.
\mathbf F=\oint_S\mathbf T_M\mathbf n\,dS,\qquad T_z=\oint_S[\mathbf r\times(\mathbf T_M\mathbf n)]_z\,dS
Контур охватывает выбранное тело и не пересекает токовые области.

Литература по методу: Электромагнитный момент и силы тяжения · PDF1–6; Электромагнитные силы и добавочные моменты · PDF4–15; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF130–136,184–189

От статического момента к движению и балансу энергии

Статический расчёт даёт момент при фиксированном угле. Угловое движение появляется лишь после задания инерции, начального состояния и сопротивления движению. Временной интегратор использует проверенную моментную характеристику; FEMM не подменяет этот механический шаг автоматически.

При отсутствии трения стрелка может колебаться без установления. При вязком сопротивлении механическая энергия уменьшается на интеграл c\omega ^{2}. Сравнение двух временных шагов и баланса энергии отделяет погрешность интегрирования от погрешности исходной моментной характеристики.

J_m\ddot\theta+c\dot\theta=T(\theta),\qquad E=\tfrac12J_m\dot\theta^2-W_{cross}^\prime(\theta)
Угол интегратора — радианы, хотя геометрию FEMM поворачивают в градусах.
E(t)-E(0)+\int_0^tc\dot\theta^2\,dt=0
Баланс относится к принятому квазистатическому моменту и выбранному закону механических потерь.

Литература по методу: Моделирование опытов Эрстеда и Фарадея · PDF16–19; Простейшая электрическая машина и цепи её расчёта · PDF6–18; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF39–51

Параметрическая серия и независимые оси погрешности

Автоматизация сохраняет одинаковую последовательность построения, решения и извлечения для каждого набора параметров. Перед серией фиксируют единицы, признаки материалов и обмоток, точку измерения и требуемую характеристику. Программа должна повторно открывать сохранённую модель, чтобы расчёт относился к записанному варианту.

Изменение сетки, внешней границы, углового шага, числа гармоник и шага времени отвечает на разные вопросы. Сначала получают ряд по одной оси при фиксированных остальных условиях, затем проверяют независимый аналитический или энергетический критерий. Скрипт переносит методику в серию; сам по себе он не заменяет физического обоснования.

\varepsilon_Q(h)=\frac{|Q(h)-Q(h/2)|}{\max(|Q(h/2)|,Q_{scale})}
Для величины, близкой к нулю, используют заранее выбранный абсолютный масштаб Qscale; нельзя делить ошибку на нулевой эталон.

Литература по методу: Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010) · PDF4–13,35–48; Параметризация и автоматизация серий расчётов · PDF1–30; Энергия магнитного поля через векторный потенциал · PDF19–30; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF12–15

Модели для работы

Стрелка: момент, токовый слой и движение

Плоская стрелка 20×2 мм, глубина 2 мм; провод с током 100 А на расстоянии 25 мм. Условные значения \mu _{\mathrm{rec}}=1 или 6.678; H_c=100 кА/м. Отделено нечётное взаимодействие; механика — отдельный расчёт RK4 по проверенной моментной характеристике.

Стрелка-pm-mu1-t_{0}p_{125}-a_{30}-I100-h0p01.femСтрелка-pm-mu1-t_{0}p_{125}-a_{30}-I100-h0p01.ansreproduce.pyREADME.md

Стрелка: момент, токовый слой и движение — результаты расчётного опыта.
Стрелка: момент, токовый слой и движение — результаты расчётного опыта. Открыть график
Результаты расчёта
ВеличинаРезультатЕдиница
Момент при30°2,264 × 10⁻⁶Н·м
Аналитический момент при30°2,274 × 10⁻⁶Н·м
Последнее сеточное изменение0,2323%

Последовательное решение

1 · Источник и аналитический момент

Прежде чем решать магнит целиком, вычислите внешнее поле и силы элементарных токов.

  1. Запишите поле прямого провода и переведите все расстояния в метры.
  2. Разбейте два слоя на элементы, сохраняя суммарный ток каждого.
  3. Сложите моменты относительно оси стрелки; сравните число элементов интегрирования и предскажите знак при смене тока.

Записать в протокол. M(\theta ), момент при 30^\circ /60^\circ, нулевой симметричный момент и выбранный абсолютный масштаб ошибки.

Подробное выполнение: 8.1 · Полная система Максвелла и материальные уравнения; 40.2 · Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии; 8.5 · Источники тока, витки, знаки и связи между токами и напряжениями на выводах

2 · Магнит и токовые слои

Конечный слой — приближение поверхности; изменение \mu меняет саму физическую модель.

  1. Откройте новые модели стрелки и провода из расчётной серии.
  2. Для каждого \mu _{\mathrm{rec}} сравните PM и три толщины слоя, сохраняя H_c и полный ток.
  3. Для каждого положения решите +I и−I и выделите нечётный момент взаимодействия.

Записать в протокол. Таблица \mu _{\mathrm{rec}}/толщина/момент магнита/момент слоя/относительное расхождение.

Подробное выполнение: 8.4 · Линейные и нелинейные материалы и параметры постоянного магнита; 8.5 · Источники тока, витки, знаки и связи между токами и напряжениями на выводах; 40.2 · Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии

3 · Независимая проверка момента

Погрешность поля вокруг тела существенна для тензора напряжений.

  1. Уточните сетку и внутри стрелки, и в окружающем воздухе по трём уровням.
  2. Сравните последний момент с аналитическим токовым интегралом для \mu _{rec_{1}}.
  3. Для нулевого момента используйте абсолютную ошибку относительно заранее выбранного момента при 30^\circ, а не деление на ноль.

Записать в протокол. Последовательность сеток, число элементов, M, εсетки и εаналитики.

Подробное выполнение: 40.2 · Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии; 13.3 · Автоматический контроль сетки и независимых параметров

4 · Динамика стрелки

Механический интегратор получает моментную характеристику как входные данные.

  1. Вычислите массу и инерцию по размерам и плотности.
  2. Проинтегрируйте J\theta ''+c\theta '=M(\theta ) методомRK4 при шагах 1 и 0,5мс.
  3. Сопоставьте траектории при c_{0} и заданном вязком сопротивлении; проверьте кинетическую, потенциальную и рассеянную энергию.

Записать в протокол. \theta (t),\omega (t), временной шаг, энергия потерь и максимальная относительная невязка энергии.

Подробное выполнение: 32.2 · Коммутация и численное интегрирование по времени во встроенном Python; 32.3 · Динамика цепи и механики с квазистатическим восстановлением поля

5 · Выбор расчётной модели

Для чувствительного механизма нужны и точный момент, и обоснованная модель материала.

  1. Укажите толщину слоя, при которой приближение достаточно для поставленного вопроса.
  2. Раздельно опишите ошибку эквивалентности, сетки и механического шага.
  3. Объясните, какие параметры реальной стрелки надо измерить для дальнейшего проектирования.

Записать в протокол. Сводная таблица точности и решение о пригодности PM/токового представления.

Подробное выполнение: 8.3 · Магнитостатика и магнитоквазистатика: векторный и скалярный потенциалы; 8.4 · Линейные и нелинейные материалы и параметры постоянного магнита; 36.2 · Независимое сравнение и воспроизводимый отчёт

Контрольный расчёт и численные результаты

\mu _{rec_{1}}, Hc100кА/м, \theta 30^\circ, ток провода 100 А.

  1. Аналитический токовый интеграл: 2,274 × 10⁻⁶ Н·м.
  2. Последняя FE-сетка: 2,264 × 10⁻⁶ Н·м.
  3. Различие проверяется отдельно от конечной толщины амперовского слоя.

Статический момент проверен полем и аналитикой; механика рассчитана отдельно по моментной характеристике.

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

ВеличинаЕдиницаЧто определяет
M(\theta )Н·мМомент взаимодействия источника и стрелки.
εслоя, εсетки1Раздельные ошибки представления и поля.
\theta (t),\omega (t)рад; рад/сТраектория при заданной инерции и трении.
\Delta EДжНевязка механического баланса.
  1. Последний шаг сетки момента менее 2%; расхождение с аналитикой \mu _{rec_{1}} менее 3%.
  2. Полный ток слоя неизменен при уменьшении толщины.
  3. Относительная невязка механической энергии менее 0,4% на обоих временных шагах.

Итоговый вывод. Моментная характеристика определяет чувствительность, а инерция и трение — движение. Модель материала и дискретизацию выбирают по отдельным количественным проверкам.

Границы применения результата

Литература

  1. Гончаров В. И. Моделирование опытов Эрстеда и Фарадея. — 19 с.
  2. Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
  3. Выражение энергии магнитного поля через векторный магнитный потенциал. Раздел 4. — 30 с.
  4. Электромагнитный момент и силы тяжения. Раздел 6. — 6 с.
  5. Электромагнитные силы в магнитном поле. Раздел 12. — 15 с.
  6. Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].
  7. Уравнения Максвелла. Раздел 2. — 20 с.
  8. Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
  9. Простейшая электрическая машина. Раздел 1. — 30 с.
  10. Рымша В. В., Процына З. П., Якимец А. М. Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом : методические указания. — Одесса : ОНПУ, 2010. — 48 с.
  11. Составление скриптов на языке Lua. — 30 с.