FEMM 5

Электромагнитная индукция и фазоры

Записать закон Фарадея в дифференциальной и интегральной форме. Ввести комплексные амплитуды и соглашение о временной зависимости. Различать мгновенные, амплитудные, действующие и средние величины

Предварительные понятия

Два языка переменного поля

До сих пор поля в курсе были неподвижны во времени: заряды покоились, токи не менялись. Стоит индукции B\uB начать изменяться — и электрическое поле перестаёт быть потенциальным: у него появляются замкнутые линии, циркуляция по контуру становится отличной от нуля, а разность потенциалов между двумя точками начинает зависеть от пути. Это и есть электромагнитная индукция, открытая Фарадеем и записанная Максвеллом в виде уравнения.

Второе, чисто математическое обстоятельство: в энергетике, электромеханике и индукционном нагреве подавляющее большинство процессов — гармонические, с одной частотой ff (50 Гц, 400 Гц, десятки килогерц). Для них все уравнения линейной теории поля можно освободить от времени, заменив производную ∂/∂t\partial/\partial t умножением на число. Инструмент такой замены — комплексные амплитуды, или фазоры. Весь модуль о гармонических полях, включая вихревые токи и скин-эффект, написан на этом языке, поэтому соглашения о фазорах нужно усвоить до мелочей.

Закон электромагнитной индукции

Пусть LL — неподвижный замкнутый контур, SS — любая натянутая на него поверхность, n\un — единичная нормаль к SS, согласованная с направлением обхода по правилу правого винта (см. поток и потокосцепление). Магнитный поток через SS: Φ=∫SB⋅n dS\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS.

Закон Фарадея в интегральной форме

Циркуляция напряжённости электрического поля по неподвижному контуру равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через любую поверхность, опирающуюся на этот контур: ∮LE⋅dl=−dΦdt=−ddt∫SB⋅n dS.\oint_L\uE\cdot\dl=-\frac{\dd\Phi}{\dd t}=-\frac{\dd}{\dd t}\int_S\uB\cdot\un\,\dS . Левая часть называется электродвижущей силой (ЭДС) ee контура, единица — вольт. Знак «минус» выражает правило Ленца: индуцированное поле стремится препятствовать изменению потока.

Так как контур неподвижен, производную по времени можно внести под знак интеграла. Применив теорему Стокса к левой части, получаем ∫S∇×E⋅n dS=−∫S∂B∂t⋅n dS\int_S\nabla\times \uE\cdot\un\,\dS=-\int_S\frac{\partial\uB}{\partial t}\cdot\un\,\dS. Поверхность SS произвольна, значит, равны подынтегральные выражения.

Дифференциальная форма закона Фарадея

∇×E=−∂B∂t.\nabla\times \uE=-\frac{\partial\uB}{\partial t}. Переменное магнитное поле является источником вихрей электрического поля. В статике (∂B/∂t=0\partial\uB/\partial t=0) получаем ∇×E=0\nabla\times \uE=0, и поле снова потенциально. Дифференциальная форма — локальное утверждение: она связывает величины в одной и той же точке и не требует никакого контура.

Для обмотки из NN витков, каждый из которых сцеплён с потоком Φk\Phi_k, ЭДС складываются, и e=−dΨ/dte=-\dd\Psi/\dd t, где Ψ=∑kΦk\Psi=\sum_k\Phi_k — потокосцепление. Условие согласованной ориентации (нормаль — по правому винту от направления обхода, в котором отсчитывается ee) здесь обязательно: без него знак ЭДС лишён смысла.

ЭДС трансформаторная и ЭДС движения

Поток через контур может изменяться по двум причинам: меняется само поле B(t)\uB(t) при неподвижном контуре (трансформаторная ЭДС, именно её описывает ∇×E=−∂B/∂t\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t) или контур движется либо деформируется в постоянном поле (ЭДС движения, равная ∮(v×B)⋅dl\oint(\vec v\times\uB)\cdot\dl, где v\vec v — скорость элемента контура). В общем случае движущегося контура полная ЭДС по-прежнему равна −dΦ/dt-\dd\Phi/\dd t, если поток вычислять через поверхность, перемещающуюся вместе с контуром [Тамм]. В этом уроке и во всём модуле контуры неподвижны, и речь идёт только о трансформаторной ЭДС.

Гармонические процессы и комплексные амплитуды

Гармоническая величина x(t)=Xmcos⁡(ωt+ψ)x(t)=X_m\cos(\omega t+\psi) задаётся тремя числами: амплитудой XmX_m, угловой частотой ω=2πf\omega=2\pi f и начальной фазой ψ\psi. В линейной системе, возбуждаемой на одной частоте, все величины имеют одну и ту же ω\omega, поэтому для каждой из них достаточно хранить пару (Xm,ψ)(X_m,\psi) — то есть одно комплексное число.

Комплексная амплитуда (фазор)

Гармонической величине x(t)=Xmcos⁡(ωt+ψ)x(t)=X_m\cos(\omega t+\psi) сопоставляется комплексное число X˙=Xmejψ,так чтоx(t)=Re⁡{X˙ejωt}.\cplx X=X_m e^{\ii\psi},\qquad\text{так что}\qquad x(t)=\Re\{\cplx X e^{\ii\omega t}\}. Здесь j\ii — мнимая единица, j2=−1\ii^2=-1. Модуль фазора ∣X˙∣=Xm|\cplx X|=X_m — амплитудное значение, аргумент — начальная фаза. Это соглашение курса: фазоры амплитудные, а не действующие, и временной множитель — ejωte^{\ii\omega t} (а не e−jωte^{-\ii\omega t}, как в части физической литературы).

Два пояснения к определению. Мнимую единицу в электротехнике обозначают j\ii, а не ii, потому что буква ii занята мгновенным током i(t)i(t); это соглашение закреплено в глоссарии. Выбор амплитудных, а не действующих фазоров важен тем, что все формулы для мощности и энергии приобретают множитель 12\tfrac12, о чём ниже; в литературе по электрическим цепям [Демирчян] фазоры чаще действующие, поэтому при сопоставлении формул проверяйте соглашение.

Определение распространяется на векторные поля покомпонентно: E(r,t)=Re⁡{E˙(r)ejωt}\uE(\ur,t)=\Re\{\cplx{\uE}(\ur)e^{\ii\omega t}\}, где E˙(r)\cplx{\uE}(\ur) — комплексный вектор, каждая декартова компонента которого есть фазор. Фазы компонент могут быть разными: тогда конец вектора E(t)\uE(t) описывает в пространстве эллипс, а не отрезок.

Дифференцирование и интегрирование фазоров

dxdt=Re⁡{jωX˙ejωt}⟺X˙  ↦  jωX˙,∫x dt  ⟺  X˙  ↦  X˙jω.\frac{\dd x}{\dd t}=\Re\{\ii\omega\cplx X e^{\ii\omega t}\}\quad\Longleftrightarrow\quad \cplx X\;\mapsto\;\ii\omega\cplx X, \qquad \int x\,\dd t\;\Longleftrightarrow\;\cplx X\;\mapsto\;\frac{\cplx X}{\ii\omega}. Доказательство — прямое дифференцирование: операции d/dt\dd/\dd t и Re⁡\Re линейны и перестановочны, а dejωt/dt=jωejωt\dd e^{\ii\omega t}/\dd t=\ii\omega e^{\ii\omega t}. Умножение на j=ejπ/2\ii=e^{\ii\pi/2} поворачивает фазор на +90°+90°: производная опережает исходную величину на четверть периода, интеграл отстаёт.

Поэтому закон Фарадея для гармонических полей читается без времени: ∇×E˙=−jωB˙\nabla\times \cplx{\uE}=-\ii\omega\cplx{\uB}, а ЭДС обмотки — E˙=−jωΨ˙\cplx E=-\ii\omega\cplx\Psi. Любое линейное уравнение с постоянными коэффициентами переводится на язык фазоров заменой ∂/∂t→jω\partial/\partial t\to\ii\omega; обратный переход — умножение на ejωte^{\ii\omega t} и взятие вещественной части.

Переход оправдан только для линейных операций: сложения, умножения на вещественную константу, дифференцирования. Произведение двух гармонических величин уже не гармоническое (оно содержит постоянную составляющую и вторую гармонику), поэтому мощность и энергию через фазоры вычисляют особым образом (см. ниже). К нелинейным системам — например, к насыщенному сердечнику — фазоры применимы лишь приближённо, по первой гармонике.

Фазорная диаграмма

Фазор изображают стрелкой на комплексной плоскости: длина — амплитуда, угол с вещественной осью — начальная фаза. Мгновенное значение — это проекция на вещественную ось стрелки, повёрнутой на угол ωt\omega t; удобно считать, что все стрелки диаграммы вращаются с одной угловой скоростью против часовой стрелки, а мы смотрим на «остановленный» кадр при t=0t=0. Сложение гармонических величин одной частоты — это сложение стрелок по правилу параллелограмма; сдвиг на 90°90° — поворот. Диаграмма позволяет решать задачу о фазах «на глаз»: например, сразу видно, что ЭДС E˙=−jωΨ˙\cplx E=-\ii\omega\cplx\Psi отстаёт от потокосцепления на 90°90°.

Мгновенные, амплитудные, действующие и средние значения

Действующее значение

Действующим (среднеквадратичным) значением периодической величины x(t)x(t) с периодом TT называют X=1T∫0Tx2(t) dt.X=\sqrt{\frac1T\int_0^T x^2(t)\,\dd t}. Для гармонической величины X=Xm/2≈0,707 XmX=X_m/\sqrt2\approx0{,}707\,X_m. Заявленные изготовителем напряжения и токи («220 В», «10 А») — действующие значения; амплитуда сетевого напряжения 220 В равна 2202≈311220\sqrt2\approx311 В.

Действующее значение — это такое постоянное значение тока, которое выделяет в сопротивлении RR ту же среднюю мощность: ⟨Ri2⟩=RI2\langle Ri^2\rangle=RI^2. Отсюда и его роль в расчётах потерь.

Средняя мощность через фазоры

Пусть u(t)=Re⁡{U˙ejωt}u(t)=\Re\{\cplx U e^{\ii\omega t}\}, i(t)=Re⁡{I˙ejωt}i(t)=\Re\{\cplx I e^{\ii\omega t}\}, где U˙=Umejψu\cplx U=U_m e^{\ii\psi_u}, I˙=Imejψi\cplx I=I_m e^{\ii\psi_i} — амплитудные фазоры. Мгновенная мощность p(t)=u i=UmImcos⁡(ωt+ψu)cos⁡(ωt+ψi)=12UmIm[cos⁡(ψu−ψi)+cos⁡(2ωt+ψu+ψi)].p(t)=u\,i=U_mI_m\cos(\omega t+\psi_u)\cos(\omega t+\psi_i)=\tfrac12U_mI_m\bigl[\cos(\psi_u-\psi_i)+\cos(2\omega t+\psi_u+\psi_i)\bigr]. Второе слагаемое колеблется с удвоенной частотой и за период даёт нуль. Средняя (активная) мощность P=⟨p⟩=12UmImcos⁡φ=12Re⁡{U˙I˙∗},φ=ψu−ψi,P=\langle p\rangle=\tfrac12U_mI_m\cos\varphi=\tfrac12\Re\{\cplx U\cplx I^*\},\qquad \varphi=\psi_u-\psi_i, где звёздочка — комплексное сопряжение. Если бы фазоры были действующими, U˙д=U˙/2\cplx U_{\mathrm д}=\cplx U/\sqrt2, I˙д=I˙/2\cplx I_{\mathrm д}=\cplx I/\sqrt2, множитель 12\tfrac12 исчез бы: P=Re⁡{U˙дI˙д∗}=UIcos⁡φP=\Re\{\cplx U_{\mathrm д}\cplx I_{\mathrm д}^*\}=UI\cos\varphi. В курсе фазоры амплитудные, поэтому во всех формулах для средней мощности и средней энергии стоит множитель 12\tfrac12.

Та же конструкция даёт комплексную мощность S~=12U˙I˙∗=P+jQ\tilde S=\tfrac12\cplx U\cplx I^*=P+\ii Q, где Q=12UmImsin⁡φQ=\tfrac12U_mI_m\sin\varphi — реактивная мощность, а ∣S~∣=12UmIm=UI|\tilde S|=\tfrac12U_mI_m=UI — полная. Для полей: средняя объёмная плотность потерь Джоуля ⟨J⋅E⟩=12Re⁡{J˙⋅E˙∗}=12σ∣E˙∣2\langle\uJ\cdot\uE\rangle=\tfrac12\Re\{\cplx{\uJ}\cdot\cplx{\uE}^*\}=\tfrac12\sigma|\cplx{\uE}|^2, средняя плотность энергии магнитного поля в линейной среде ⟨12B⋅H⟩=14Re⁡{B˙⋅H˙∗}=14μ∣H˙∣2\langle\tfrac12\uB\cdot\uH\rangle=\tfrac14\Re\{\cplx{\uB}\cdot\cplx{\uH}^*\}=\tfrac14\mu|\cplx{\uH}|^2. Общее правило: среднее за период от произведения двух гармонических величин равно половине вещественной части произведения фазора одной на сопряжённый фазор другой.

Величина Определение Связь для синусоиды
Мгновенное значение x(t)x(t) функция времени Xmcos⁡(ωt+ψ)X_m\cos(\omega t+\psi)
Амплитуда XmX_m наибольшее значение =∣X˙∣=\lvert\cplx X\rvert
Действующее значение XX среднеквадратичное Xm/2X_m/\sqrt2
Среднее значение ⟨x⟩\langle x\rangle 1T∫0Tx dt\frac1T\int_0^T x\,\dd t 00
Средняя мощность PP ⟨ui⟩\langle u i\rangle 12Re⁡{U˙I˙∗}=UIcos⁡φ\tfrac12\Re\{\cplx U\cplx I^*\}=UI\cos\varphi

Пример: ЭДС катушки в переменном поле

ЭДС и действующее напряжение обмотки

Катушка из NN витков охватывает поток Φ(t)=Φmcos⁡ωt\Phi(t)=\Phi_m\cos\omega t, одинаковый для всех витков, так что Ψ=NΦ\Psi=N\Phi. При согласованной ориентации e=−NdΦdt=NωΦmsin⁡ωt=NωΦmcos⁡(ωt−90°).e=-N\frac{\dd\Phi}{\dd t}=N\omega\Phi_m\sin\omega t=N\omega\Phi_m\cos(\omega t-90°). В фазорах: Φ˙=Φm\cplx\Phi=\Phi_m (вещественный, фаза нуль), E˙=−jωNΦ˙=ωNΦme−jπ/2\cplx E=-\ii\omega N\cplx\Phi=\omega N\Phi_m e^{-\ii\pi/2}. ЭДС отстаёт от потока на 90°90°: когда поток максимален, его скорость изменения — и ЭДС — равна нулю. Амплитуда Em=ωNΦm=2πfNΦmE_m=\omega N\Phi_m=2\pi fN\Phi_m, действующее значение E=2π2fNΦm≈4,44 fNΦm.E=\frac{2\pi}{\sqrt2}fN\Phi_m\approx4{,}44\,fN\Phi_m . Это формула трансформаторной ЭДС, по которой рассчитывают число витков обмоток. Числа: f=50f=50 Гц, N=200N=200, сечение сердечника S=10S=10 см² =10−3=10^{-3} м², Bm=1,2B_m=1{,}2 Тл, тогда Φm=BmS=1,2⋅10−3\Phi_m=B_mS=1{,}2\cdot10^{-3} Вб, Em=314,2⋅200⋅1,2⋅10−3=75,4E_m=314{,}2\cdot200\cdot1{,}2\cdot10^{-3}=75{,}4 В, E=75,4/2=53,3E=75{,}4/\sqrt2=53{,}3 В; проверка по формуле 4,44⋅50⋅200⋅1,2⋅10−3=53,34{,}44\cdot50\cdot200\cdot1{,}2\cdot10^{-3}=53{,}3 В.

Трансформатор на холостом ходу

Если к первичной обмотке (N1N_1 витков) приложено напряжение U˙1\cplx U_1, а сопротивлением обмотки можно пренебречь, то напряжение уравновешивает ЭДС: U˙1=−E˙1=jωN1Φ˙\cplx U_1=-\cplx E_1=\ii\omega N_1\cplx\Phi. Отсюда Φ˙=U˙1/(jωN1)\cplx\Phi=\cplx U_1/(\ii\omega N_1): поток отстаёт от напряжения на 90°90°, а его амплитуда задаётся напряжением и частотой, а не током — ток холостого хода лишь таков, каков нужен для создания этого потока по кривой намагничивания сердечника. Во вторичной обмотке U˙2=jωN2Φ˙\cplx U_2=\ii\omega N_2\cplx\Phi при той же ориентации, поэтому U˙2/U˙1=N2/N1\cplx U_2/\cplx U_1=N_2/N_1 — напряжения синфазны (или противофазны при обратной ориентации витков), а их отношение равно отношению чисел витков [Бессонов].

Распространённые заблуждения

  • Сложение действующих значений. Если i1(t)i_1(t) и i2(t)i_2(t) сдвинуты по фазе, действующее значение суммы не равно сумме действующих значений. Складывать можно только фазоры (как комплексные числа) или мгновенные значения; действующее значение берётся у результата.
  • Фазор — «вектор в пространстве». Фазор — комплексное число, изображающее фазу и амплитуду скалярной функции времени. Стрелка на фазорной диаграмме ничего не говорит о направлении поля в пространстве. У векторного поля три компоненты, и у каждой свой фазор.
  • Пропущенная половина. Запись P=Re⁡{U˙I˙∗}P=\Re\{\cplx U\cplx I^*\} верна только для действующих фазоров. С амплитудными фазорами курса она завышает мощность вдвое. Ту же ошибку делают, записывая плотность потерь как σ∣E˙∣2\sigma|\cplx E|^2 вместо 12σ∣E˙∣2\tfrac12\sigma|\cplx E|^2.
  • Смена знака временной зависимости. При соглашении e−jωte^{-\ii\omega t} производная переходит в −jω-\ii\omega, индуктивное сопротивление становится отрицательным, а знак глубинного фазового сдвига в скин-эффекте меняется. Смешивать источники с разными соглашениями нельзя без пересчёта.
  • Фазоры для нелинейных процессов. Если ток содержит высшие гармоники (насыщение), один фазор его не описывает; формулы вида P=12Re⁡{U˙I˙∗}P=\tfrac12\Re\{\cplx U\cplx I^*\} дают лишь мощность первой гармоники.

Вопросы и упражнения

  1. Ток i(t)=5cos⁡(314t−30°)i(t)=5\cos(314t-30°) А. Запишите фазор I˙\cplx I и фазор производной di/dt\dd i/\dd t; найдите амплитуду и фазу производной. Чему равно действующее значение тока?
  2. Два тока одной частоты: i1=10cos⁡ωti_1=10\cos\omega t А и i2=10cos⁡(ωt+90°)i_2=10\cos(\omega t+90°) А, текут в одном проводнике. Найдите амплитуду и действующее значение суммарного тока. Сравните с «арифметической» суммой действующих значений и объясните расхождение.
  3. Обмотка из N=500N=500 витков, Φm=2\Phi_m=2 мВб, f=50f=50 Гц. Найдите амплитудное и действующее значения ЭДС. Как они изменятся при f=400f=400 Гц и том же Φm\Phi_m?
  4. U˙=100\cplx U=100 В, I˙=2e−j60°\cplx I=2e^{-\ii60°} А (амплитудные фазоры). Найдите активную, реактивную и полную мощность. Отстаёт ток от напряжения или опережает?
  5. Покажите, что среднее за время произведения двух гармонических величин разных частот равно нулю. Что это означает для потерь от двух гармоник тока в одном сопротивлении?
  6. В области с переменным B\uB взяты две точки AA и BB. Используя интегральный закон Фарадея, объясните, почему показание вольтметра, подключённого к этим точкам, зависит от того, как проложены его провода.

Ответы к пунктам 1, 2 и 4

1. I˙=5e−j30°\cplx I=5e^{-\ii30°} А; производная jωI˙=314⋅5 ej(90°−30°)=1570ej60°\ii\omega\cplx I=314\cdot5\,e^{\ii(90°-30°)}=1570e^{\ii60°} А/с — амплитуда 1570 А/с, фаза +60°+60°. Действующее значение 5/2=3,545/\sqrt2=3{,}54 А.

2. I˙=10+10j=102 ej45°\cplx I=10+10\ii=10\sqrt2\,e^{\ii45°} А: амплитуда 14,114{,}1 А, действующее значение 1010 А. Сумма действующих значений 7,07+7,07=14,17{,}07+7{,}07=14{,}1 А неверна: токи сдвинуты на четверть периода и их максимумы не совпадают.

4. P=12⋅100⋅2cos⁡60°=50P=\tfrac12\cdot100\cdot2\cos60°=50 Вт, Q=12⋅100⋅2sin⁡60°=86,6Q=\tfrac12\cdot100\cdot2\sin60°=86{,}6 вар, ∣S~∣=100|\tilde S|=100 В·А. Фаза тока −60°-60° меньше фазы напряжения 00: ток отстаёт (индуктивный характер нагрузки).

Итоги

Далее — вихревые токи, скин-эффект и потери: как переменное поле проникает в проводник и почему оно там быстро затухает.

Применение в FEMM 5