# Скин-эффект круглого провода и комплексное внутреннее сопротивление



Скин-эффект увеличивает сопротивление массивного проводника на переменном токе даже без заметного влияния соседних проводов. Изменяющееся поле порождает вихревые токи, которые вытесняют полный ток к поверхности сечения. В работе вычисленное активное сопротивление сравнивается с аналитическим решением для круглого провода через комплексные функции Бесселя.

Радиус медного провода равен 5 мм, проводимость 57 МСм/м, амплитуда тока 100 А. Обратный провод расположен на расстоянии 200 мм, чтобы эффект близости оставался малым. Рассматриваются частоты 50, 500 и 5000 Гц. Глубина плоской модели — один метр; сопротивление и потери относятся к метровой двухпроводной петле.



## Комплексное внутреннее сопротивление



В круглом однородном проводнике гармоническое решение уравнения диффузии выражается функциями J0 и J1 комплексного аргумента. При низкой частоте внутреннее сопротивление переходит в Rdc+jωLint. На высокой частоте активная часть растёт, поскольку эффективная площадь прохождения тока уменьшается.

Контрольная функция вычисляет ряды Бесселя непосредственно во встроенном Python. Она использует только математические операции и не читает численный результат FEMM. Сравнение относится к внутреннему активному сопротивлению, поэтому реактивное сопротивление внешнего поля петли не подставляется в эту формулу.



$$Z_{\mathrm{внутр}}^\prime=\frac{kJ_0(ka)}{2\pi a\sigma J_1(ka)},\qquad k=(1-\mathrm{i})/\delta$$



## От мощности к сопротивлению



Средняя мощность двух проводов делится на квадрат амплитуды тока и умножается на два. Полученное сопротивление должно совпадать с активной мощностью на выводах двух цепей. Здесь важно не спутать ток одной ветви с суммой модулей двух противоположных токов.

На каждой частоте выполняются три решения с разным размером элемента внутри меди. Наиболее требовательной оказывается верхняя частота с меньшей δ. В отчёте приведите Rac/Rdc и отношение радиуса к глубине проникновения. Затем объясните, почему сетка, достаточная на 50 Гц, не может автоматически считаться достаточной на 5 кГц. Температурная зависимость сопротивления в этом опыте намеренно исключена, чтобы наблюдаемое увеличение объяснялось только распределением тока.



## Порядок работы



1. До запуска запишите уравнение контрольной величины и ожидаемое направление изменения при вариации параметра. Согласуйте миллиметры геометрии с единицами СИ в формулах. Создайте отдельную папку и откройте reproduce.py во встроенном редакторе Python FEMM 5. Команды mi_* и mo_* в этой среде уже доступны глобально.

2. Выполните программу целиком. Она создаёт новый calculated-NN, строит каждую модель с русскими именами материалов и цепей, сохраняет файл FEM, закрывает его и повторно открывает перед решением. Поэтому проверка относится к точному записанному варианту модели и охватывает сохранение кириллицы.

3. Изучите result.json: records хранит численные результаты всех режимов и трёх сеток, checks — названия проверок, измеренные отклонения, допуски и итог. Откройте модель и решение финальной сетки; сопоставьте материалы, направление токов и характерные размеры с таблицей параметров.

4. Составьте отчёт с физическим объяснением, таблицей сходимости и независимым контрольным расчётом. Затем измените один параметр и выполните новую серию. Сохраняйте предыдущую серию для сравнения; успешное завершение решателя само по себе не заменяет проверки физического масштаба и сеточной устойчивости.



## Границы применимости



- Проводник изотропный, немагнитный и однородный. Тепловое расширение, нагрев, шероховатость поверхности и паразитная ёмкость отсутствуют.

- Полевые модели и программа являются самостоятельными учебными материалами курса. Численная проверка охватывает указанные критерии; физических измерений и нативных снимков интерфейса в этом проходе нет.