# Профиль Роговского: конформное поле и распределение напряжённости



Профилирование электродов позволяет уменьшить концентрацию электрического поля у их краёв. Произвольное скругление не даёт готового аналитического распределения, поэтому в этой работе выбран профиль, построенный конформным преобразованием. Его потенциал, поле и ёмкость расчётного фрагмента определяются независимо от FEMM и служат проверкой геометрии.

Используется номинальный промежуток g=10 мм и разность потенциалов U=200 В. Верхний и нижний электроды имеют потенциалы +100 и −100 В. Профили являются образами прямых v=±π/2 при преобразовании z=(g/π)(w+expw), где w=u+iv. Рассматривается диапазон −5≤u≤1.5 и глубина один метр. Боковые границы выбраны по линиям постоянного u.



## Конформная постановка



В плоскости w задача представляет прямоугольник с потенциалом φ=Uv/π. При аналитическом однозначном преобразовании сохраняются гармоничность потенциала и ортогональность линий поля и эквипотенциалей. Поэтому верхняя и нижняя границы становятся плавно расходящимися профилями электродов, а боковые линии u=const остаются линиями потока.

На боковых границах нормальная компонента электрического смещения равна нулю. Это естественное условие электростатического решателя, поэтому приближённый потенциал по искусственному краю задавать не требуется. Данная конечная область представляет точный фрагмент конформного поля, ограниченный двумя линиями потока.



$$z=\frac g\pi(w+e^w),\qquad \varphi=\frac U\pi v,\qquad |E|=\frac{U/g}{|1+e^w|}$$



## Независимые контрольные величины



Конформная инвариантность энергетического интеграла даёт погонную ёмкость C′=ε0(u2−u1)/π. Она сравнивается с зарядом верхнего электрода и отдельно с энергией поля. На средней линии v=0 поле равно (U/g)/(1+exp u); три контрольные точки проверяют не только интегральный результат, но и локальное изменение напряжённости.

Кривые аппроксимируются отрезками с удвоением числа участков при каждом сгущении сетки. Это одновременно уменьшает геометрическую и полевую дискретизацию. При u→−∞ промежуток приближается к плоскому зазору g, а напряжённость — к U/g. В зоне раскрытия поле уменьшается. В отчёте объясните, почему номинальный g не равен фактическому расстоянию между профилями при произвольном x.



$$C^\prime=\frac{\varepsilon_0(u_2-u_1)}\pi,\qquad E_{v=0}=\frac{U/g}{1+e^u}$$



## Порядок работы



1. До запуска запишите уравнение контрольной величины и ожидаемое направление изменения при вариации параметра. Согласуйте миллиметры геометрии с единицами СИ в формулах. Создайте отдельную папку и откройте reproduce.py во встроенном редакторе Python FEMM 5. Команды ei_*, eo_*, ci_* и co_* в этой среде уже доступны глобально.

2. Выполните программу целиком. Она создаёт новый calculated-NN, строит каждую модель с русскими именами материалов и проводников, сохраняет файл модели, закрывает его и повторно открывает перед решением. Поэтому проверка относится к точному записанному варианту модели и охватывает сохранение кириллицы.

3. Изучите result.json: records хранит численные результаты всех режимов и трёх сеток, checks — названия проверок, измеренные отклонения, допуски и итог. Откройте модель и решение финальной сетки; сопоставьте материалы, потенциалы проводников и характерные размеры с таблицей параметров.

4. Составьте отчёт с физическим объяснением, таблицей сходимости и независимым контрольным расчётом. Затем измените один параметр и выполните новую серию. Сохраняйте предыдущую серию для сравнения; успешное завершение решателя само по себе не заменяет проверки физического масштаба и сеточной устойчивости.



## Границы применимости



- Описан конформный фрагмент, ограниченный линиями потока. Реальные держатели электродов, загрязнение, газовый разряд и пробой не моделируются.

- Точные учебные модели проверяются численно; экспериментальная проверка и снимки нативного интерфейса выполняются отдельно.