# Индукционный нагрев: переходное тепловое поле и температурная обратная связь

Работа связывает два нативных решателя FEMM 5. Сначала гармоническое магнитное поле создаёт вихревые токи в проводящей заготовке. Их средняя мощность становится источником переходного теплового расчёта. Полученное распределение температуры меняет электропроводность и магнитную проницаемость следующего магнитного решения. Такая последовательность позволяет исследовать обратную связь, которую нельзя получить простым умножением первоначальных потерь на время нагрева.

## Физическая постановка

Заготовка представляет собой сплошной цилиндр радиуса 10 мм и высоты 4 мм. Ось цилиндра совпадает с осью r=0. В меридиональном сечении он занимает r=0…10 мм, z=−2…2 мм. Катушка занимает r=14…18 мм, z=−4…4 мм и содержит 20 витков. Её синусоидальный ток имеет амплитуду 300 А при частоте 500 Гц. Поэтому действующее значение тока равно 300/√2 А. Ток задан идеальным источником: изменение сопротивления заготовки не уменьшает амплитуду возбуждения автоматически.

В окружающем воздухе и обмотке относительная проницаемость равна единице. Проводимость идеализированной обмотки задана нулевой: это распределённый источник ампер-витков без собственных медных потерь. Рассчитанная активная мощность относится к заготовке. Она не является потреблением реального генератора вместе с катушкой, преобразователем, подводами и системой охлаждения. На удалённой прямоугольной границе r=80 мм, z=±80 мм задаётся A=0; на оси это условие выражает регулярность осесимметричного поля. Размер внешней области в данной работе фиксирован; приближение открытого пространства сохраняет обычную погрешность усечения области.

Материал заготовки выбран для учебного исследования. При начальной температуре T₀=293,15 К его проводимость σ₀=6·10⁶ См/м, относительная проницаемость μr₀=20. Зависимости задаются явно:

σ(T)=σ₀/[1+0,004(T−T₀)],

μr(T)=1+(μr₀−1)/[1+0,005(T−T₀)].

Это положительные обратимые зависимости линейного магнитного материала в рассматриваемом диапазоне температур. В каждом магнитном решении μr постоянна внутри своей ячейки и не зависит от амплитуды H. Закон не описывает насыщение, гистерезис, точку Кюри или паспортные свойства марки стали. Программа ограничивает допустимую температуру диапазоном 250…600 К; выход за этот диапазон останавливает расчёт и требует новой модели материала.

Тепловая проводимость равна 25 Вт/(м·К), объёмная теплоёмкость — 3,8 МДж/(м³·К). Начальная температура во всём цилиндре равна T₀. На боковой поверхности и двух торцах действует конвекция с h=1000 Вт/(м²·К) в среду T₀. На оси тепловой поток через r=0 равен нулю по симметрии. Это заданное интенсивное охлаждение, а не расчёт движения охлаждающей жидкости. Излучение, теплопередача через крепления, температурная зависимость k и теплоёмкости не включены.

## Мощность и согласованный перенос

Гармонические токи FEMM задаются комплексными амплитудами. Средняя активная мощность источника равна P=Re(V̂Î*)/2, а плотность джоулевых потерь — |Ĵ|²/(2σ). Интеграл `mo_blockintegral(4)` уже возвращает среднюю по периоду мощность. При переносе этой величины в тепловую задачу дополнительный множитель 1/2 не применяется. Программа сравнивает интеграл потерь с мощностью выводов и независимо суммирует |Ĵ|²/(2σ) по конечным элементам заготовки.

Основная сетка переноса делит цилиндр на шесть кольцевых ячеек: радиальные границы 0, 4, 7, 10 мм и осевые границы −2, 0, 2 мм. Для каждой ячейки непосредственно вычисляется мощность Pᵢ. Тепловой источник qᵢ=Pᵢ/Vᵢ имеет размерность Вт/м³. Осесимметричный объём учитывает множитель 2πr; площадь меридионального сечения сама по себе объёмом не является. Сумма qᵢVᵢ должна совпадать с магнитными потерями. Объёмы независимо возвращаются обоими решателями и сравниваются с геометрической формулой.

Температура не предполагается одинаковой во всей заготовке. Нативный тепловой решатель получает распределённый источник и вычисляет пространственное поле T(r,z,t). В магнитные материалы возвращается объёмная средняя температура каждой ячейки. Такое усреднение является самостоятельной аппроксимацией переноса. Сгущение конечных элементов внутри прежних шести ячеек не устраняет эту погрешность. Поэтому предусмотрен отдельный опыт с 24 ячейками, полученными делением каждого исходного радиального и осевого интервала пополам.

## Переходный расчёт и итерация связи

На каждом шаге времени используется нативный переходный тепловой расчёт FEMM 5 с предыдущим ANH и явным параметром dt. Это конечно-элементное решение уравнения cv∂T/∂t=∇·(k∇T)+q, а не подстановка температуры из внешней сосредоточенной схемы. Теплоёмкость в `hi_addmaterial` вводится в МДж/(м³·К), источник q — в Вт/м³. Неверный перевод этого параметра изменил бы тепловую постоянную времени в миллион раз.

Связь на новом временном слое решается итерационно. Приближение температуры задаёт σ и μ, новое магнитное решение даёт q, затем тепловой решатель повторяет один и тот же временной шаг от последнего принятого состояния. Полученная температура становится следующим приближением. Предыдущее принятое ANH внутри итерации не заменяется промежуточным результатом: иначе каждая итерация ошибочно продвигала бы время ещё на dt. Шаг принимается, когда максимальная разность средних температур ячеек меньше 0,0001 К. Предельное число итераций равно 12; отсутствие сходимости останавливает программу.

Гармоническое поле на каждом тепловом слое считается установившимся. Наименьший тепловой шаг содержит много электрических периодов; быстрый процесс включения генератора не моделируется. В модели нет движения, плавления, скрытой теплоты, изменения формы или фазового перехода. Результат характеризует нагрев твёрдой заготовки с заданными гладкими свойствами.

## Проверки и исследование

Первые три серии используют размеры конечных элементов 0,8; 0,55; 0,35 мм при одинаковом шаге времени 0,125 с и одинаковых шести ячейках переноса. Четвёртая серия сохраняет мелкую сетку и уменьшает только dt до 0,0625 с. Пятая сохраняет эти настройки и уточняет перенос до 24 ячеек. Шестая служит контрольным опытом: проводимость и проницаемость удерживаются при T₀, тогда как переходное тепловое поле продолжает решаться. Сравнение пятой и шестой серий показывает влияние температурной обратной связи. Длительность нагрева составляет 0,5 с.

Каждый принятый шаг проверяет баланс мощности источника, сохранение мощности при переносе и тепловое равенство: накопление энергии в объёме плюс конвективный теплоотвод равно источнику. Теплоотвод независимо интегрируется по поверхности с осесимметричным весом. Предельная невязка баланса не заменяет проверку точности распределения температуры: поэтому дополнительно сравниваются средняя температура, мощность и чувствительность к сетке, времени и числу ячеек. Поле максимальной температуры оценивается по явно заданной сетке проб; в результатах величина названа `T_sampled_max_K`.

Распакуйте комплект в отдельный каталог и откройте `reproduce.py` во встроенном Python FEMM 5. Программа создаст новую папку `calculated-NN`, сохранит, закроет, повторно откроет и решит каждую модель с русскими именами. Для каждого конечного состояния в комплекте сохранены магнитная модель с решением, тепловая модель с решением и необходимое предыдущее ANH. Все промежуточные шаги создаются программой заново. История времени, температуры, мощности и невязок записывается в `result.json`. Сравнивайте сначала серии с одним изменённым параметром; затем объясните, как температурное снижение σ и μ изменило потери именно при заданном токовом возбуждении.