# Преддуговой нагрев плавкой вставки: теплоотвод и I²t

Медная вставка длиной 10 мм и сечением 0.2 × 0.2 мм нагревается током 12 А в течение 0.2 с. Торцы закреплены в идеальных держателях 20 °C, боковые поверхности теплоизолированы. Рассчитывается нагрев до плавления; фаза металла не меняется.

Работа использует нативную переходную теплопроводность FEMM 5. Каждое поле температуры получается командой hi_analyze с предыдущим решением ANH и действительным шагом времени; аналитическая формула служит независимой проверкой. Численное интегрирование одного уравнения баланса не выдаётся за полевое решение.

## Теория переходного процесса

При равномерной плотности тока источник qv=J²/σ постоянен. Адиабатический предел даёт линейный рост температуры, пропорциональный интегралу I²dt. В короткой вставке тепло одновременно уходит в холодные держатели, поэтому одна величина I²t уже не определяет поле без геометрии и условий теплоотвода.

Независимое решение одномерного уравнения теплопроводности с нулевым начальным перегревом и холодными торцами выражается рядом по нечётным пространственным гармоникам. Программа вычисляет его в центре для каждого нативного шага. Этот контроль проверяет не только теплоёмкость, но и диффузионный теплоотвод вдоль вставки.

Все теплофизические и электрические свойства в этой базовой модели постоянны. Работа намеренно заканчивается при умеренной температуре: она не предсказывает температуру плавления, скрытую теплоту, образование перешейка, дугу или время отключения аппарата. Сравнение с адиабатическим пределом показывает вклад держателей до включения этих дополнительных процессов.

$$\Delta T_c(t)=\frac{q_vL^2}{8k}-\frac{4q_vL^2}{k\pi^3}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m e^{-\kappa[(2m+1)\pi/L]^2t}}{(2m+1)^3}$$

## Время, сетка и единицы

Объёмная теплоёмкость в FEMM задаётся в МДж/(м³ К). В аналитическом балансе используется величина в Дж/(м³ К), поэтому множитель 10⁶ вводится явно. Объёмная мощность остаётся в Вт/м³, температура — в кельвинах, время — в секундах. Смешение этих единиц изменяет скорость нагрева на шесть порядков.

Начальное равномерное поле сначала рассчитывается как отдельная стационарная задача с заданной температурой. Каждый следующий файл ссылается на предыдущее решение через hi_probdef(...,previous_anh,dt). Геометрия и ограничения сетки на всех шагах одной цепочки одинаковы; переключаются только физические условия. Используется неявный шаг FEMM, а последний шаг сокращается до точного конца опыта. Для переключаемой нагрузки шаг также обрезается на границе каждого импульса.

Первые три серии совместно уточняют пространственную сетку и время. Дополнительная четвёртая серия оставляет самую мелкую пространственную сетку и делит только её шаг времени пополам. Поэтому временная сходимость проверяется отдельно. Полная история сохраняется при воспроизведении, а в учебный пакет включены конечные модели и необходимые предыдущие решения для повторного последнего шага.

## Практическое исследование

Измените длину вставки при прежнем сечении и токе. Сравните время диффузии L²/κ с длительностью импульса и объясните переход от почти адиабатического поведения к сильному влиянию держателей.

Сравните два импульса с одинаковым I²t, но разной амплитудой и длительностью. При заметном теплоотводе максимальные температуры не обязаны совпадать. Проверьте это нативной цепочкой, сохраняя исходные свойства.

Измените теплоёмкость и проверьте единицы МДж и Дж. Затем уменьшите dt вдвое при неизменной сетке и сравните ошибку относительно ряда: отдельная временная проверка нужна даже при очень мелкой пространственной сетке.

## Параметры

| Параметр | Значение | Единица |
|---|---|---|
| Ток | 12 | А |
| Длина | 10 | мм |
| Сечение | 0.2 × 0.2 | мм² |
| Теплоёмкость | 3.45 | МДж/(м³ К) |
| Длительность | 0.2 | с |

## Выполнение

1. Запустите reproduce.py во встроенном редакторе Python FEMM 5 из отдельной рабочей папки. Программа создаст новую calculated-XX, перейдёт в неё и построит все шаги. Ссылки на предыдущие решения относительны этой папке, поэтому воспроизведённая цепочка не зависит от авторских путей.

2. Откройте начальный и конечный шаги. Сопоставьте источник мощности, теплоёмкость и граничные условия до нагрева и во время процесса. Проверьте сохранённые поля previous solution и dt в соответствующих входных моделях.

3. В result.json сравните температуры с независимой аналитикой, ошибки трёх серий и дополнительный опыт с dt/2 при той же пространственной сетке. В отчёте отдельно подпишите временную и пространственную дискретизации.

4. Изменяйте по одному параметру нагрузки или охлаждения. До запуска оцените ожидаемые характерное время и скорость нагрева. При обсуждении результата укажите область температур, в которой принятые постоянные свойства или упрощённый теплоотвод остаются содержательной моделью.

## Область применимости

Постоянные σ, k и cv; идеальные холодные держатели; отсутствуют температурная зависимость сопротивления, плавление и дуга. I²t здесь характеризует заданный импульс, а не паспортную отключающую способность.

Подтверждён именно нативный переходный решатель FEMM 5.0 06Oct2026. Снимки интерфейса выполняются отдельным согласованным проходом.