# Комплексная матрица импедансов: токи, общая оболочка и нагрузки

В многопроводной линии взаимная связь определяется комплексной матрицей: соседние токи меняют не только потокосцепление, но и распределение потерь. Работа извлекает полную матрицу Z трёх портов с общей проводящей оболочкой, подключает две пассивные нагрузки и проверяет найденные токи новым полевым решением.

Три медные жилы радиусом 1.5 мм имеют центры x=−4, 0 и +4 мм. Общая медная оболочка занимает радиусы 10…11 мм. Глубина плоской модели равна 1 м, проводимость меди 58 МСм/м. Рассматриваются частоты 50, 5000 и 50000 Гц. Первая жила возбуждается током амплитудой 1 А; вторая и третья замыкаются через сопротивления 5 и 50 мОм, затем нагрузки меняются местами.

## Определение порта и матрицы

Ток каждого порта направлен по своей жиле; обратный ток проходит по общей оболочке. Поэтому суммарный ток оболочки в каждом полевом опыте равен минус сумме трёх токов жил. Напряжение порта — разность напряжений его жилы и оболочки. Это определение включает потери возвратного проводника и не подменяет общий обратный путь условием нулевого потенциала в бесконечности.

Три единичных возбуждения образуют столбцы Z. В каждом возбуждении токи остальных жил равны нулю по сечению, однако локальные вихревые токи внутри них возможны. Взаимные коэффициенты поэтому имеют действительную и мнимую части. Статическая матрица индуктивностей не может воспроизвести это частотное перераспределение. Комплексная взаимность проверяется сравнением Zjk и Zkj без сопряжения. Сопряжение используется при вычислении мощности, а не при перестановке взаимных коэффициентов.

$$\widehat{\boldsymbol V}=\boldsymbol Z(\omega)\widehat{\boldsymbol I},\qquad Z_{jk}=Z_{kj},\qquad P=\frac12\operatorname{Re}\left(\widehat{\boldsymbol I}^{\mathrm H}\boldsymbol Z\widehat{\boldsymbol I}\right)$$

## Нагрузки и независимые проверки

При заданном токе первого порта два неизвестных тока находятся из линейной системы: напряжение второго или третьего порта плюс падение на соответствующем сопротивлении должно равняться нулю. Рассчитанные комплексные токи задаются в новой модели. Её напряжения сравниваются с произведением исходной матрицы на вектор токов, а напряжения нагруженных портов отдельно проверяются по уравнениям Кирхгофа.

Для каждого возбуждения интеграл плотности тока по каждой жиле и оболочке сравнивается с заданным током. Полевые потери сверяются с активной мощностью всех цепей; для нагруженного опыта мощность источника равна сумме потерь в металле и нагрузках. Пассивность проверяется независимым комплексным вектором токов. Нижняя DC-граница сопротивления получается из равномерного распределения тока по площади жилы и оболочки; дополнительное вытеснение не может сделать потери меньше этой границы.

На каждой частоте три сетки охватывают все три столбца матрицы и оба набора нагрузок. Поверхностный слой проводников и оболочки разрешается отдельными ограничениями сетки. Результаты относятся к однородному метровому участку с заданным соединением обратных токов. Межжильная ёмкость, электромагнитное распространение, реальные торцы, распределённая нагрузка и переходные процессы не включены. Работа описывает магнитоквазистатическую цепь, поэтому не заменяет модель длинной линии на высоких частотах.

## Порядок работы

1. Откройте reproduce.py во встроенном Python FEMM 5 и выполните программу. Новый запуск создаёт отдельный каталог calculated-NN рядом с программой.

2. Сначала рассмотрите единичные возбуждения: каждое определяет один столбец комплексной матрицы. Сравните прямые и обратные коэффициенты связи.

3. Затем откройте точную модель с рассчитанными комплексными токами замкнутых цепей. Сопоставьте токи, напряжения, средние потери и невязку уравнения Кирхгофа.

4. Сравните три сетки отдельно для каждой частоты, возбуждения и нагрузки. Пользуйтесь файлами result.json для точных комплексных чисел; график показывает выбранную вещественную характеристику.

5. Измените один параметр и выполните новый расчёт. Результат после изменения параметров подтверждается только новой численной проверкой.

## Границы применимости

- Однородная магнитоквазистатическая плоская модель метрового участка. Ёмкостная связь, распространение волн, индуктивность внешних торцевых соединений и распределённые нагрузки не учитываются.