# Проводник на переменном токе: сопротивление, транспозиция и частота силового воздействия

Определить Rac/Rdc, внутреннюю реактивность, распределение тока и потери; выбрать число изолированных жил и частоту вращающегося поля по количественным ограничениям.

Выбрать минимальное число транспонированных жил с Rac/Rdc≤1,5 среди исследованных вариантов; для проводящего цилиндра выбрать частоту с максимальным моментом при потерях не более 50 Вт/м.

## Вытеснение тока — задача магнитной диффузии

В проводнике переменное поле создаёт вихревую составляющую электрического поля. Она меняет распределение J и потерь даже при сохранённом полном токе. Характерная длина проникновения уменьшается с частотой, проводимостью и проницаемостью.

Для глубокого прямоугольного стержня с идеальными магнитными боковыми стенками задача становится одномерной. Решение Эмде даёт коэффициенты увеличения активного сопротивления и уменьшения внутренней индуктивности. Реактивность внешнего поля в этот коэффициент не входит.

В FEMM токи — комплексные амплитуды. Поэтому средняя мощность AC равна половине R|Ipeak|². При постоянном токе коэффициента 1/2 нет. Сопротивление по мощности нужно согласовать с действительной частью напряжения цепи.

$$\delta_s=\sqrt{\frac1{\pi f\mu\sigma}},\quad \xi=h/\delta_s$$

δs — глубина проникновения в однородное полупространство; h — глубина проводника.

$$k_R=\xi\frac{\sinh2\xi+\sin2\xi}{\cosh2\xi-\cos2\xi},\quad k_X=\frac3{2\xi}\frac{\sinh2\xi-\sin2\xi}{\cosh2\xi-\cos2\xi}$$

kX относится только к внутренней реактивности стержня.

$$R_{ac}=2P/|I_{peak}|^2,\quad R_{dc}=l/(\sigma S),\quad L_{int,ac}=4W_{av,int}/|I_{peak}|^2$$

Для DC энергия равна LI²/2; средняя магнитная энергия гармонического поля — L|Ipeak|²/4.

## Дробление и транспозиция задают разные условия токов

В непрерывном стержне ток сам перераспределяется по сечению. Изоляция между жилами запрещает поперечные токи, однако простое параллельное соединение оставляет общую разность потенциалов и допускает разные токи ветвей.

Идеальная полная транспозиция означает, что каждая элементарная ветвь за полный виток занимает одинаковые положения. В двумерной активной части её предельный эффект задаётся равными токами всех 2n жил. При этом Ie=Iобщ/(2n), а не Iобщ.

Равные токи не устраняют внутригильный поверхностный эффект и влияние соседних жил. Поэтому начальное дробление может увеличить потери. Решение принимают по серии, сохраняя площадь меди, температуру и полный ток; реальные переходы транспозиции и дополнительная длина отдельно влияют на сопротивление.

$$\widehat I_e=\frac{\widehat I_\Sigma}{2n},\qquad \sum_e\widehat I_e=\widehat I_\Sigma$$

В режиме равных токов Series-цепь задаёт один Ie в каждой жиле; в Parallel-цепи задаётся общий ток.

$$Z_{eq}=\frac{V_{parallel}}{I_\Sigma}\quad\text{или}\quad Z_{eq}=\frac{V_{series}}{(2n)I_\Sigma}$$

Напряжение Series-цепи суммируется по жилам; для общего эквивалента используют среднее напряжение одной физической параллельной ветви.

## Частота вращающегося поля и электромагнитное перемешивание

Вращающееся поле индуцирует в неподвижном проводящем цилиндре токи и средний момент. При малой частоте токи слабы; при высокой частоте поле вытесняется к поверхности. Поэтому максимум момента не обязан совпадать с наибольшей частотой.

Для двухполюсного поля и неподвижного тела переданная электромагнитная мощность превращается в джоулевы потери, P=ωсинх T. Сопоставление интеграла Лоренца, взвешенного тензора напряжений и мощности даёт независимый контроль.

Эта постановка определяет силовое воздействие и нагрев. Скорость жидкости требует уравнений движения, вязкости и граничных условий потока; она не получается из электромагнитного момента.

$$\widehat J_s(\theta)=J_m e^{-j\theta},\quad \omega_{syn}=2\pi f,\quad P_{rotor}=\omega_{syn}|T|\ \ (n=0,p=1)$$

Фазированный слой из 48 участков приближает бегущую пространственную волну первого порядка.

## Порядок расчёта

Откройте программу reproduce.py во встроенном Python FEMM 5. Программа создаёт новую папку calculated-NN рядом с программой или в текущей рабочей папке и рассчитывает все серии. Сохранённые учебные FEM и ANS можно открывать отдельно для анализа поля.

### Электрические условия и бюджет потерь

Определения измеряемых величин и электрические условия задают смысл последующего сравнения.

1. Выпишите температуру, проводимость, площадь меди, амплитудный и действующий общий ток. Проверьте формулу Ie=Iобщ/(2n).
2. Составьте две отдельные схемы: общее напряжение параллельных ветвей и равные токи идеальной транспозиции. Укажите, как напряжение FEMM преобразуется в эквивалентное Z.
3. Назначьте ограничения Rac/Rdc≤1,5 для пакета и P≤50 Вт/м для цилиндра. Скорость цилиндра зафиксируйте равной нулю.

### Одномерный эталон стержня

Аналитическая проверка выявляет ошибки фазоров и мощности.

1. Рассчитайте DC и AC стержень; получите профили комплексной J по глубине.
2. По P найдите kR; по магнитной энергии только проводника найдите kX.
3. Сопоставьте с формулами Эмде и повторите сетки 0,70; 0,35; 0,175 мм при 50 Гц.

### Пакет изолированных жил

Одинаковая площадь позволяет сравнивать электрические условия.

1. Для каждого n рассчитайте Parallel и равные токи Series=6000/(2n) А.
2. Сохраните комплексный ток каждой жилы, суммарный ток, мощность и полное эквивалентное Z.
3. Постройте Rac/Rdc от числа жил и выберите первый исследованный вариант с коэффициентом не более 1,5.

### Выбор частоты силового воздействия

Силовой максимум нужно сопоставить с тепловым ограничением.

1. Выполните частотную серию 10…800 Гц для неподвижного цилиндра.
2. Сравните моменты Лоренца и WST, а также P и 2πfT.
3. Найдите максимум момента среди исследованных частот; затем выберите частоту при ограничении P≤50 Вт/м.
4. Отдельно уточните сетку, число участков источника и внешнюю область при 400 Гц.

## Расчётный пример

6000 А peak, 400 Гц, 120 °C, 304 мм² меди. Условия: Rac/Rdc≤1,5; для цилиндра отдельно P≤50 Вт/м.

1. Глубокий стержень при 50 Гц: kR=2,52682; Эмде 2,52659.
2. Первый исследованный пакет, удовлетворяющий ограничению, содержит 128 жил: Ie=46,875 А peak, Rac/Rdc=1,21709, P=1730,79 Вт/м.
3. Среди исследованных частот максимум момента цилиндра получен при 400 Гц. При ограничении P≤50 Вт/м выбраны 200 Гц: T=0,0389618 Н·м/м, P=48,9739 Вт/м.

Выбор относится к исследованной сетке числа жил и частот. Теплоотвод и скорость жидкости отдельно не рассчитаны.

## Границы применимости

- Равные токи описывают идеальную полную транспозицию; реальные лобовые соединения, длина и контактные сопротивления отдельно не рассчитаны.
- Температура меди задана, а не получена из теплового равновесия.
- Для цилиндра задана нулевая скорость. Результат не определяет скорость расплава и не включает гидродинамику.

## Источники

- [Транспонированный стержень: выбор числа элементарных проводов](http://e-200.ru/EMR/EMR-2-2.pdf)
- [e200-doc-4](https://e-200.ru/EMR/index.html)